Интегрирование тригонометрической функции.

@obsession · Регистрация: 11.03.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

как можно вычислить такой интеграл?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx+5}$

Прочитала, что здесь нужно использовать универсальную тригонометрическую подстановку... Но как?

@Igor · 20.03.2012, 14:00

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg\ \frac{x}{2}=t,\ dx=\frac{2dt}{1+{t}^{2}},\ \sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}},\ \cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$

@obsession · 20.03.2012, 14:25 **[ТС]**

Получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{6}({t}^{3}+18{t}^{2}+21t+4)+\frac{2}{5}arctgt$
Что можно сделать дальше?

@Igor · 20.03.2012, 14:31

obsession, откуда arctg t выплыл?

@obsession · 20.03.2012, 14:36 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx+5}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx}$ + $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{5}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx}$ + $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{5}x$

x=2arctgt, тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{5}x$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2}{5}arctgt$

@Igor · 20.03.2012, 14:38

obsession, я Вам необходимые подстановки расписал. Ваше дело только подставить в нужное место.

@Том Ардер · 20.03.2012, 18:12

obsession, какое может быть интегрирование при таком "умении" работать с дробями?! Всякое видел, но

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{a+5}=\frac{1}{a}+\frac{1}{5}$

это уже за гранью!

@obsession 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.03.2012 Сообщений: 55
		1
	Интегрирование тригонометрической функции. 20.03.2012, 13:53. Показов 736. Ответов 6 Метки нет (Все метки) как можно вычислить такой интеграл? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx+5}$ Прочитала, что здесь нужно использовать универсальную тригонометрическую подстановку... Но как? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	20.03.2012, 14:00	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?tg\ \frac{x}{2}=t,\ dx=\frac{2dt}{1+{t}^{2}},\ \sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}},\ \cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$ 1

@obsession 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.03.2012 Сообщений: 55
	20.03.2012, 14:25 [ТС]	3
	Получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{6}({t}^{3}+18{t}^{2}+21t+4)+\frac{2}{5}arctgt$ Что можно сделать дальше? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	20.03.2012, 14:31	4
	obsession, откуда arctg t выплыл? 0

@obsession 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.03.2012 Сообщений: 55
	20.03.2012, 14:36 [ТС]	5
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx+5}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx}$ + $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{5}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{2sinx-cosx}$ + $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{5}x$ x=2arctgt, тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{5}x$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2}{5}arctgt$ 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	20.03.2012, 14:38	6
	obsession, я Вам необходимые подстановки расписал. Ваше дело только подставить в нужное место. 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	20.03.2012, 18:12	7
	obsession, какое может быть интегрирование при таком "умении" работать с дробями?! Всякое видел, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{a+5}=\frac{1}{a}+\frac{1}{5}$ это уже за гранью! 0