Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.80/5: Рейтинг темы: голосов - 5, средняя оценка - 4.80
oneshotgame
0 / 0 / 0
Регистрация: 17.04.2012
Сообщений: 5
1

Числовые ряды из типовика.

17.04.2012, 17:03. Просмотров 897. Ответов 11
Метки нет (Все метки)

Исследовать на сходимость ряды
0
Изображения
  
Лучшие ответы (1)
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
17.04.2012, 17:03
Ответы с готовыми решениями:

числовые ряды
помогите решить, заранее спасибо)

числовые ряды
1+2/5+3/9+...+n/(4n*3) Помогите решить, заранее спасибо

Числовые ряды
Общий член u_n последовательности 17/16, 1, 21/22,... имеет вид... a....

Числовые ряды
Если для рядов с положительными членами \sum\limits_{n=1}^\infty u_n и...

Числовые ряды
1) Исследовать на сходимости числовой ряд с помощью достаточных признаков...

11
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,186
Записей в блоге: 2
17.04.2012, 18:06 2
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1.\ \sum_{n=1}^{\infty}n({e}^{\frac{1}{{n}^{2}}}-1)\ <\ \int_{1}^{\infty}x{e}^{-{x}^{2}}dx
2. Сходится, но условно.
1
oneshotgame
0 / 0 / 0
Регистрация: 17.04.2012
Сообщений: 5
18.04.2012, 21:50  [ТС] 3
а с полным решением можно? мое решение не нравится преподавателю.
0
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,186
Записей в блоге: 2
18.04.2012, 22:11 4
oneshotgame, вот и выложите решение сюда. А там посмотрим.
0
Eugeniy
3119 / 1312 / 156
Регистрация: 19.12.2009
Сообщений: 1,808
20.04.2012, 18:33 5
Igor, я люблю интегральные оценки, но по моему в первом более актуальна другая оценка

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}n({e}^{\frac{1}{{n}^{2}}}-1)\ \leq  \int_{1}^{\infty}x({e}^{\frac{1}{{x}^{2}}}-1)dx

И надо все-таки провести некоторую роботу, пускай и не значительную, чтобы доказать сходимость этого интеграла.
2
oneshotgame
0 / 0 / 0
Регистрация: 17.04.2012
Сообщений: 5
22.04.2012, 20:32  [ТС] 6
Правда эта версия уже с интернета, но вот подчеркнутое ему и не нравится.
0
Миниатюры
Числовые ряды из типовика.   Числовые ряды из типовика.  
Igor
4618 / 3377 / 353
Регистрация: 11.11.2010
Сообщений: 6,186
Записей в блоге: 2
23.04.2012, 08:30 7
Цитата Сообщение от oneshotgame Посмотреть сообщение
но вот подчеркнутое ему и не нравится.
Справедливо.

В 1-ом Вам уже на дверь указали, осталось только открыть.
0
Buckminster
23.04.2012, 11:06
  #8

Не по теме:

да и фраза "при n → ∞ (exp(1/n2) – 1) ≈ (1 + 1/n2 – 1)" звучит, мягко говоря, странно... тогда уж скорее при n → ∞ (exp(1/n2) – 1) → 0...
т.е. в общем-то понятно, что пытались этим сказать, но таким смелыми утверждениями легко доказывается всё, что угодно...

0
Eugeniy
3119 / 1312 / 156
Регистрация: 19.12.2009
Сообщений: 1,808
23.04.2012, 18:01 9
Лучший ответ Сообщение было отмечено как решение

Решение

Buckminster, в этом проблемы нет. Для знакопостоянных рядов такая фишка работает. Проблемы в двух местах: во первых гармонический ряд сходится не из признака сравнения.
Можно по разному говорить почему это так, но можно сказать что это известный факт.
Во-вторых откуда автор взял, что

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}n({e}^{\frac{1}{{n}^{2}}}-1)> \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

Это совершенная не правда. Здесь работают другие соображения. Рассмотрим разложение n-го члена исходного ряда

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n({e}^{\frac{1}{{n}^{2}}}-1)=n(1-1+\frac{1}{{n}^{2}}+o(\frac{1}{{n}^{2}}))=n(\frac{1}{{n}^{2}}+o(\frac{1}{{n}^{3}})),\ n\rightarrow +\infty

Прокомментирую это равенство. Здесь я воспользовался разложением экспоненты
по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Я это сделать имею полное право.
Далее принципиально важно играть с остатком. Учитывая, что следующий член в разложении

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{{n}^{4}}

я могу записать остаток не

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?o(\frac{1}{{n}^{2}})

А

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?o(\frac{1}{{n}^{3}})

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n(\frac{1}{{n}^{2}}+o(\frac{1}{{n}^{3}}))=\frac{1}{n}+o(\frac{1}{{n}^{2}}),\ n\rightarrow +\infty

Стало быть

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}n({e}^{\frac{1}{{n}^{2}}}-1)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{{n}^{2}}))

По определению о-маленького а также признаку сравнения, остаток

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}o(\frac{1}{{n}^{2}})

сходится, значит исходный ряд сходится только в случае, если сходится ряд

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

а он как известно расходится. Итого наш ряд расходится. Замечу, что если бы мы не исправили остаток, а оставили

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?o(\frac{1}{{n}^{2}})

у нас ничего бы не вышло, потому что сказать что-либо про сходимость ряда

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}o(\frac{1}{n})

мы не можем.

В принципе со знакопеременными рядами такая штука тоже работает, но там надо быть осторожнее там не работает признак сравнения.
Вообще есть замечательный признак сходимости Гаусса, который фактически и основан на таком разложении и есть обобщением признаков Д'аламбера, Коши, логарифмического и.т.д.

Вообще есть три принципиально разных признаков сходимости для знакопостоянных рядов: Гаусса, Маклорена и Ермакова.
Последний кстати из Киева
3
Buckminster
1024 / 696 / 65
Регистрация: 30.01.2012
Сообщений: 714
23.04.2012, 18:54 10
Eugeniy, я скорее имел в виду, что выкладки приведены без должных обоснований... даже ремарка "воспользуемся разложением в ряд Тейлора" могла бы придать преобразованиям хотя бы относительную легитимность (не говоря уже об аккуратно выполненных оценках остаточного члена)... а признак сравнения здесь вполне подходит предельный:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{n\left( {{e}^{\frac{1}{{{n}^{2}}}}}-1 \right)},\qquad \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}}=\frac{1}{n}

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\underset{n\to \infty }{\lim}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\lim}\,\frac{n\left( {{e}^{1/{{n}^{2}}}}-1 \right)}{1/n}=\underset{n\to \infty }{\lim}\,\frac{{{e}^{1/{{n}^{2}}}}-1}{1/{{n}^{2}}}=\left[ \frac{0}{0} \right]<br />

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\underset{x\to \infty }{\lim}\,\frac{{{e}^{1/{{x}^{2}}}}-1}{1/{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\lim}\, \frac{({{e}^{1/{{x}^{2}}}}-1{)}'}{(1/{{x}^{2}}{)}'}=\underset{x\to \infty }{\lim}\,{{e}^{1/{{x}^{2}}}}=1

откуда http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{a}_{n}}\sim {{b}_{n}} при http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\to \infty и исходный ряд расходится вместе с гармоническим...
0
Eugeniy
3119 / 1312 / 156
Регистрация: 19.12.2009
Сообщений: 1,808
23.04.2012, 20:09 11
Цитата Сообщение от Buckminster Посмотреть сообщение
Eugeniy, я скорее имел в виду, что выкладки приведены без должных обоснований... даже ремарка "воспользуемся разложением в ряд Тейлора" могла бы придать преобразованиям хотя бы относительную легитимность (не говоря уже об аккуратно выполненных оценках остаточного члена)... а признак сравнения здесь вполне подходит предельный:
В этом большой недостаток отсутствия грамотной математической подготовки.
Такое свойственно физикам, или смежным с математикой специальностям, когда без должного аргументирования и даже без должного понимания дела, совершаются какие-то переходы, которые с виду кажутся якобы природными и очевидными. Это и предельные переходы, перестановка границ интегрирования, дифференцирование и т.д.
Увы, математика такой не аккуратности не любит. Здесь все надо делать строго и аккуратно!
2
margo-
1 / 1 / 0
Регистрация: 23.04.2012
Сообщений: 3
23.04.2012, 20:17 12
n*(e^(1/n^2)-1) эквивалентно n*1/(n^2)=1/n так как ряд 1/n расходится как гармонический то в силу признака сравнения в предельной форме ряд n*(e^(1/n^2)-1) расходится
0
23.04.2012, 20:17
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
23.04.2012, 20:17

Числовые ряды
В общем добрый вечер :) Никак не могу найти, как решать вот это чудо. Завтра...

Числовые ряды
Во всех примерах исследовать ряд на сходимость.Помогите, пожалуйста с решением:

Числовые ряды
все данные на картинке. Правильно ли я посчитала???


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
12
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru