Производная по определению

@cmath · Регистрация: 11.08.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток. У меня такой вопрос:
Верно ли, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+3\Delta x)-3f(x+2\Delta x)+3f(x+\Delta x)-f(x)}{{(\Delta x)}^{3}} ={f}^{(3)}(x)$ , если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ - бесконечно дифференцируемая функция?

Добавлено через 2 часа 36 минут
Поправочка к пределу: там $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ стремится к нулю

@splen · 06.09.2012, 14:50

Сообщение от Hydrogen

... если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ - бесконечно дифференцируемая функция?

Даже если только трижды непрерывно дифференцируема. Трижды применяем теорему Лагранжа о конечном приращении.
Первый шаг. Положим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_1(x)=f(x+2 \Delta x) - 2f(x+\Delta x) + f(x).$

Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x+3\Delta x)-3f(x+2\Delta x)+3f(x+\Delta x)-f(x) = f_1(x + \Delta x) - f_1(x)=f_1'(x_1) \Delta x,$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1 \in (x, \; x + \Delta x),$ причём

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_1'(x_1)=f'(x_1+2 \Delta x)-2f'(x_1+\Delta x)+f'(x_1).$

Второй шаг. Аналогично, полагаем

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2(x)=f'(x + \Delta x) - f'(x)$

и получаем, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_1'(x_1) = f_2'(x_2) \Delta x,$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2 \in (x_1, \; x_1 + \Delta x),$ а значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2 \in (x, \; x + 2 \Delta x),$ причём

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2'(x_2)=f''(x_2+\Delta x)-f''(x_2).$

Третий шаг. Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2'(x_2)$ непосредственно

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2'(x_2) = f'''(x_3)\Delta x,$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_3 \in (x_2, \; x_2 + \Delta x),$ а значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_3 \in (x, \; x + 3 \Delta x).$
После всех подстановок и сокращения на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(\Delta x)}^3$ под знаком предела остаётся только $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'''(x_3),$ а дальше - по непрерывности.

Не по теме:

Другой способ - трижды применить правило Лопиталя по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x.$

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
		1
	Производная по определению 06.09.2012, 13:14. Показов 601. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток. У меня такой вопрос: Верно ли, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x+3\Delta x)-3f(x+2\Delta x)+3f(x+\Delta x)-f(x)}{{(\Delta x)}^{3}} ={f}^{(3)}(x)$ , если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ - бесконечно дифференцируемая функция? Добавлено через 2 часа 36 минут Поправочка к пределу: там $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ стремится к нулю 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	06.09.2012, 14:50	2
	Сообщение от Hydrogen ... если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ - бесконечно дифференцируемая функция? Даже если только трижды непрерывно дифференцируема. Трижды применяем теорему Лагранжа о конечном приращении. Первый шаг. Положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_1(x)=f(x+2 \Delta x) - 2f(x+\Delta x) + f(x).$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x+3\Delta x)-3f(x+2\Delta x)+3f(x+\Delta x)-f(x) = f_1(x + \Delta x) - f_1(x)=f_1'(x_1) \Delta x,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1 \in (x, \; x + \Delta x),$ причём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_1'(x_1)=f'(x_1+2 \Delta x)-2f'(x_1+\Delta x)+f'(x_1).$ Второй шаг. Аналогично, полагаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2(x)=f'(x + \Delta x) - f'(x)$ и получаем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_1'(x_1) = f_2'(x_2) \Delta x,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2 \in (x_1, \; x_1 + \Delta x),$ а значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2 \in (x, \; x + 2 \Delta x),$ причём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2'(x_2)=f''(x_2+\Delta x)-f''(x_2).$ Третий шаг. Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2'(x_2)$ непосредственно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_2'(x_2) = f'''(x_3)\Delta x,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_3 \in (x_2, \; x_2 + \Delta x),$ а значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_3 \in (x, \; x + 3 \Delta x).$ После всех подстановок и сокращения на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(\Delta x)}^3$ под знаком предела остаётся только $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'''(x_3),$ а дальше - по непрерывности. Не по теме: Другой способ - трижды применить правило Лопиталя по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x.$ 2