Исследовать сходимость числового ряда

@vlad915 · Регистрация: 16.09.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Исследовать сходимость числовго ряда, буду очень благодарен!

@Ellipsoid · 16.09.2012, 23:56

Сходится по признаку Даламбера в предельной форме.

@cmath · 17.09.2012, 07:37

как вариант, можно воспользоваться предельным признаком Коши

Добавлено через 3 минуты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\sqrt[n]{{a}_{n}} = \lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{3}\sqrt[n]{\frac{n}{n+1}}=\frac{1}{3} < 1 \Rightarrow$ сходится

@Igor · 17.09.2012, 08:38

vlad915, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1){3}^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)-1}{(n+1){3}^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{1}{(n+1){3}^{n}})<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{3}^{n}}$

@cmath · 17.09.2012, 12:35

Продолжим-с использование признаков сравнения

:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}_{n}= \frac{1}{{3}^{n}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}= \frac{n}{(n+1){3}^{n}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n}{n+1}=1 \Rightarrow$ ряды $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {a}_{n}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {b}_{n}$ сходятся или расходятся одновременно, а т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {b}_{n}$ сходится, то сходится и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {a}_{n}$

Добавлено через 10 минут
или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}*\frac{n(n+2)}{{(n+1)}^{2}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{1}{3}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}<\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$

@vlad915 · 17.09.2012, 12:36 **[ТС]**

спасибо вам большое!

@vlad915 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.09.2012 Сообщений: 4
		1
	Исследовать сходимость числового ряда 16.09.2012, 23:52. Показов 2441. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Исследовать сходимость числовго ряда, буду очень благодарен! Миниатюры 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	16.09.2012, 23:56	2
	Сходится по признаку Даламбера в предельной форме. 2

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.09.2012, 07:37	3
	как вариант, можно воспользоваться предельным признаком Коши Добавлено через 3 минуты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\sqrt[n]{{a}_{n}} = \lim_{n\rightarrow \propto }\frac{1}{3}\sqrt[n]{\frac{n}{n+1}}=\frac{1}{3} < 1 \Rightarrow$ сходится 2

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	17.09.2012, 08:38	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение vlad915, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1){3}^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)-1}{(n+1){3}^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{1}{(n+1){3}^{n}})<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{3}^{n}}$ 3

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	17.09.2012, 12:35	5
	Продолжим-с использование признаков сравнения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}_{n}= \frac{1}{{3}^{n}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}= \frac{n}{(n+1){3}^{n}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}=\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{n}{n+1}=1 \Rightarrow$ ряды $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {a}_{n}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {b}_{n}$ сходятся или расходятся одновременно, а т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {b}_{n}$ сходится, то сходится и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum {a}_{n}$ Добавлено через 10 минут или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}*\frac{n(n+2)}{{(n+1)}^{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{1}{3}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}<\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$ 0

@vlad915 0 / 0 / 0 Регистрация: 16.09.2012 Сообщений: 4
	17.09.2012, 12:36 [ТС]	6
	спасибо вам большое! 0

Опции темы

Исследовать сходимость числового ряда

Решение