Найти все значения a и b

@Coverete · Регистрация: 26.09.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Найти все значения a и b при которых функция f(x) является бесконечно малой при x, стремящемся к нулю справа
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={(1-{x}^{a})}^{{x}^{b}}$

@splen · 28.10.2012, 17:05

Функция f(x) заведомо является бесконечно малой при x, стремящемся к нулю справа, если a > 0 и b > 0 либо a = 0 (при любых b), и заведомо не является бесконечно малой, если а≠0 и b <= 0. Остаётся случай a < 0 < b. В этом случае

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to +0}(1-x^a)x^b=\lim_{x \to +0}(x^b-x^{a+b})=-\lim_{x \to +0}x^{a+b}=0$

тогда и только тогда, когда a + b > 0.

@Igor · 28.10.2012, 17:13

splen, по-моему Вы напутали что-то.

@Coverete · 28.10.2012, 19:04 **[ТС]**

Там в степени x в степени b

@splen · 28.10.2012, 19:40

Ах, вот в чём дело... Тогда так.

Функция f(x) не определена при достаточно малых х, если a < 0, тождественно равна нулю, если a = 0 (при любых b), и заведомо не является бесконечно малой, если а > 0 и b >= 0. Остаётся случай b < 0 < a. В этом случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^a \to 0,$ и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to +0}(1-x^a)^{x^b}=\lim_{x \to +0} {\left( (1-x^a)^{\frac{1}{x^a}} \right) }^{x^{a+b}}=\lim_{x \to +0}{(\frac1e)}^{x^{a+b}}=0$

тогда и только тогда, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{a+b} \to +\infty,$ т.е. когда a + b < 0

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38
		1
	Найти все значения a и b 27.10.2012, 22:54. Показов 2944. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Найти все значения a и b при которых функция f(x) является бесконечно малой при x, стремящемся к нулю справа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={(1-{x}^{a})}^{{x}^{b}}$ 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	28.10.2012, 17:05	2
	Функция f(x) заведомо является бесконечно малой при x, стремящемся к нулю справа, если a > 0 и b > 0 либо a = 0 (при любых b), и заведомо не является бесконечно малой, если а≠0 и b <= 0. Остаётся случай a < 0 < b. В этом случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to +0}(1-x^a)x^b=\lim_{x \to +0}(x^b-x^{a+b})=-\lim_{x \to +0}x^{a+b}=0$ тогда и только тогда, когда a + b > 0. 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	28.10.2012, 17:13	3
	splen, по-моему Вы напутали что-то. 0

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38
	28.10.2012, 19:04 [ТС]	4
	Там в степени x в степени b 1

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	28.10.2012, 19:40	5
	Ах, вот в чём дело... Тогда так. Функция f(x) не определена при достаточно малых х, если a < 0, тождественно равна нулю, если a = 0 (при любых b), и заведомо не является бесконечно малой, если а > 0 и b >= 0. Остаётся случай b < 0 < a. В этом случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^a \to 0,$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to +0}(1-x^a)^{x^b}=\lim_{x \to +0} {\left( (1-x^a)^{\frac{1}{x^a}} \right) }^{x^{a+b}}=\lim_{x \to +0}{(\frac1e)}^{x^{a+b}}=0$ тогда и только тогда, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{a+b} \to +\infty,$ т.е. когда a + b < 0 1