Теория пределов

@Ellipsoid · Регистрация: 16.06.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Верно ли?

Утверждение. Если существует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to + \infty}{f(x)}=a$ , то существует и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{f(n)}$ , причём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{f(n)}=a$ .

Доказательство. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=a$ . По определению предела функции это равносильно следующему. Для любой бесконечно большой последовательности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x_n\}$ , все члены которой, начиная с некоторого номера, положительны, соответствующую последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{f(x_n)\}$ сходится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ . Последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{n\}$ удовлетворяет указанным выше требованиям: она бесконечно большая и все её члены положительны. Значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{f(n)}=a$ , что и требовалось.

P.S. Навеяно вот этой темой - Самый простой предел.

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
		1
	Теория пределов 16.12.2012, 00:07. Показов 643. Ответов 0 Метки нет (Все метки) Верно ли? Утверждение. Если существует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to + \infty}{f(x)}=a$ , то существует и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{f(n)}$ , причём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{f(n)}=a$ . Доказательство. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=a$ . По определению предела функции это равносильно следующему. Для любой бесконечно большой последовательности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{x_n\}$ , все члены которой, начиная с некоторого номера, положительны, соответствующую последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{f(x_n)\}$ сходится к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ . Последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{n\}$ удовлетворяет указанным выше требованиям: она бесконечно большая и все её члены положительны. Значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to \infty}{f(n)}=a$ , что и требовалось. P.S. Навеяно вот этой темой - Самый простой предел. 1

	16.12.2012, 00:07