@krasnyakjohn

Доброго времени суток! Проверьте ,пожалуйста, правильность исследования функции y=x*e^(-x) и помогите с определением асимптот:
1) ООФ D(y)=(-бесконечность;+бесконечность);
2) Четность
y(x)=x*exp(-x);
y(-x)=-x*exp(x);
-y(x)=-x*exp(-x);
y(x)y(-x)-y(x) функция ни четна ни нечетна(функция общего положения)
3) Периодичность
y(x+T)=y(x);
(x+T)*exp(-x-T)=x*exp(-x);
(x+T)/exp(t)=x - возможно при Т=0 функция не периодична
4)точки пересечения с осями
при y=0 x =0 функция проходит через начало координат
5)интервалы возрастания и убывания
y'=exp(-x)-x*exp(-x)
y'=0 при x=1
на интервале (-бесконечности;1) y' >0 и значит у - возрастает
в точке 1 y'=0 y=1/e
на интервале (1;+бесконечности) у'<0 и значит y - убывает
(1;1/2) - точка максимума;
6) у"=-exp(-x)*(1-x)-exp(-x)
y"=0 при x=2
на интервале (-бесконечности;2) у"<0 - выпуклая
на интервале (2;+бесконечности) у">0 - вогнутая
(2;2/exp(-2)) - точка перегиба
7)Асимптоты
вертикальная отсутствует, т.к. функция непрерывна
а с определением горизонтальной у меня проблемы

0

vetvet

Для определения горизонтальной асимптоты вам нужно рассмотреть отднльно пределы при и при

0

@krasnyakjohn

пределы функции или предел y/x ? исследование функции проведено у меня верно?

0

vetvet

Исследование верно.
Для нахождения горизонтальных асимптот ищем предел функции, при этом можно учесть, что xe^-x=x/e^x и затем применить правило Лопиталя.

0

@krasnyakjohn

х0-бесконечность
что нужно делать после нахождение пределов?
как доказать, что функция непрерывна и как построить эскиз графика?

0

vetvet

На -∞ получаем предел +∞

0

@krasnyakjohn

Точно, я ошибся, а дальше что нужно делать для определения горизонтальной асимптоты?

0

vetvet

Вы ее уже определили: при неограниченном увеличении х функция будет стремиться к 0 . Т.е. у=0 - горизонтальная асимптота.

1

@krasnyakjohn

Спасибо, это ясно, а как доказать, что функция непрерывна и как построить эскиз графика?

0