Нахождение дифференциала высшего порядка

@alucard115 · Регистрация: 07.05.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите решить, и желательно подробно объяснить как решить данное задание:
Найти дифференциал функции u(x,y) указанного порядка. u=(2y/x). d^3u=?
Заранее спасибо.

Добавлено через 6 минут
http://s1.ipicture.ru/uploads/... CZqNbN.jpg

@cmath · 07.05.2013, 17:09

Производные для начала найдите.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=?\\u_{xxy}'''=?\\u_{xyy}'''=?\\u_{yyy}'''=?\\$

@alucard115 · 07.05.2013, 17:10 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{2y}{x}, {d}^{3}u=?$

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от cmath

Производные для начала найдите.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=?\\u_{xxy}'''=?\\u_{xyy}'''=?\\u_{yyy}'''=?\\$

а как производную найти по (xxx) , (xxy), (yyy)?

@cmath · 07.05.2013, 17:12

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'''_{xxx}=\frac{\partial ^3u}{\partial x^3}$
Три раза дифференцируем по x

@alucard115 · 07.05.2013, 17:16 **[ТС]**

Сообщение от cmath

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'''_{xxx}=\frac{\partial ^3u}{\partial x^3}$
Три раза дифференцируем по x

эмм.. а можно на примере каком нить? я не понимаю просто..(

@cmath · 07.05.2013, 17:18

u=x^3y
u'x=3x^2y
u''xx=6xy
u'''xxx=6y
u'''yyy=0
u'''yxx=6x
u'''xyx=6x
u'''yyx=0
etc

@alucard115 · 07.05.2013, 17:23 **[ТС]**

Сообщение от cmath

u=x^3y
u'x=3x^2y
u''xx=6xy
etc

вот досюда понял. а почему потом u'''=6y? и дальше тоже не совсем понятно..((

@cmath · 07.05.2013, 17:27

Сообщение от cmath

u'''xxx=6y

Если C - константа, то 3-я производная от f(x)=Сх^3 будет равна 6С. Не находите?
Когда мы берём производнуюпо какой-либо переменной, со всеми другими переменными обращаемся как с константами.

@alucard115 · 07.05.2013, 17:34 **[ТС]**

Сообщение от cmath

Если C - константа, то 3-я производная от f(x)=Сх^3 будет равна 6С. Не находите?
Когда мы берём производную по какой-либо переменной, со всеми другими переменными обращаемся как с константами.

ааа вот это понял)

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от cmath

u=x^3y
u'''yyy=0
u'''yxx=6x
u'''xyx=6x
u'''yyx=0
etc

а вот это вот как находили? тут же гдето не только х но и y..?

@cmath · 07.05.2013, 17:37

u'y=x^3
u''yx=3x^2
Последовательность букв указывает на порядок, в котором я дифференцировал. Сначала по y, затем получившееся по х. Новое дифференцирование по х даст 6х. Если продифференцируем по у получим нуль.
Еще можно так написать: u'''yxx=((u'y)'x)'x

@alucard115 · 07.05.2013, 17:41 **[ТС]**

u'''yyy=0 тут я так понимаю по y взяли, поэтому остальные константы. а производная от числа=0. так да?

а вот u'''yxx=6x
u'''xyx=6x не понятно... что значит (yxx) ? тут производную берем по какой переменной?

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от cmath

u'y=x^3
u''yx=3x^2
Последовательность букв указывает на порядок, в котором я дифференцировал. Сначала по y, затем получившееся по х. Новое дифференцирование по х даст 6х. Если продифференцируем по у получим нуль.
Еще можно так написать: u'''yxx=((u'y)'x)'x

аа ясно) а не подскажете формулу для нахождения производной по дроби? (ну я имею ввиду, в моем примере же дробь, вот по какой формуле ее производную находить?)

@cmath · 07.05.2013, 17:43

У вас $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=2yx^{-1}$ . А вообще есть таблицы производных (Двайта как пример), в которых это можно подсмотреть

@alucard115 · 07.05.2013, 18:22 **[ТС]**

Сообщение от cmath

У вас $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=2yx^{-1}$ . А вообще есть таблицы производных (Двайта как пример), в которых это можно подсмотреть

спасибо) как найду производные напишу

Добавлено через 11 минут

Сообщение от cmath

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=-2y\\u_{xxy}'''=-2\\u_{xyy}'''=-2x\\u_{yyy}'''=-2\\$

так?

@cmath · 07.05.2013, 18:28

Сообщение от alucard115

так?

Увы, нет. Я не зря привел в качестве примера u=yx^3. Тут y в степени один, поэтому, если производная содержит букв y больше одной, то она будет равна нулю, как и у вас. Думал, это натолкнёт вас на какие-нибудь полезные мысли

Не судьба.
Трижды продифференцируйте f(x)=1/x и затем умножьте на 2у чтобы получить u'''xxx
Дважды продифференцируйте f(x) и умножьте на 2 чтобы получить. u'''xxy
Все остальные производные из поста №2 равны нулю.
***
Н-да, в этом разделе не хватает соответствующего FAQ по сабжу

@alucard115 · 07.05.2013, 18:37 **[ТС]**

Сообщение от cmath

Производные для начала найдите.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=-\frac{12y}{{x}^{4}}\\u_{xxy}'''=\frac{4}{{x}^{3}}\\u_{xyy}'''=0\\u_{yyy}'''=0\\$

ммм вот так?

@cmath · 07.05.2013, 18:41

Сообщение от alucard115

ммм вот так?

Ура! Вы поняли

. Значит не зря столько писанины наделал.
А теперь получим дифференциал как u'''xxx dx dx dx + 3u'''xxy dx dx dy + 3u'''xyy dx dy dy + u'''yyy dy dy dy

@alucard115 · 07.05.2013, 18:44 **[ТС]**

Сообщение от cmath

Ура! Вы поняли

. Значит не зря столько писанины наделал.
А теперь получим дифференциал как u'''xxx dx dx dx + 3u'''xxy dx dx dy + 3u'''xyy dx dy dy + u'''yyy dy dy dy

эмм.. простите, но как тут складывать?) у меня вызывают сомнения dxы..)

@cmath · 07.05.2013, 18:48

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d^3u=u'''_{xxx}*dx^3+3u'''_{xxy}*dx^2dy+3u'''_{xyy}*dxdy^2+u'''_{yyy}*dy^3$
Так лучше? Вообще же надо просто подставить вместо значков производных выражения, которые получилиь, плюс два последних слагаемых исчезнут ввиду равенства нулю производных. Вообще же dx^3 и прочие считайте обычным множителем. (как если бы умножали на какое-то число)

@alucard115 · 07.05.2013, 18:54 **[ТС]**

Сообщение от cmath

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d^3u=u'''_{xxx}*dx^3+3u'''_{xxy}*dx^2dy+3u'''_{xyy}*dxdy^2+u'''_{yyy}*dy^3$
Так лучше? Вообще же надо просто подставить вместо значков производных выражения, которые получилиь, плюс два последних слагаемых исчезнут ввиду равенства нулю производных. Вообще же dx^3 и прочие считайте обычным множителем. (как если бы умножали на какое-то число)

лучше))

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d^3u=-\frac{12y}{{x}^{4}}{dx}^{3}+\frac{12}{{x}^{3}}{dx}^{2}dy$
ммм вот так получается?

@cmath · 08.05.2013, 05:22

Сообщение от alucard115

ммм вот так получается?

Да, так. Молодец!;-)

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 18:28	14
	Сообщение от alucard115 так? Увы, нет. Я не зря привел в качестве примера u=yx^3. Тут y в степени один, поэтому, если производная содержит букв y больше одной, то она будет равна нулю, как и у вас. Думал, это натолкнёт вас на какие-нибудь полезные мысли Не судьба. Трижды продифференцируйте f(x)=1/x и затем умножьте на 2у чтобы получить u'''xxx Дважды продифференцируйте f(x) и умножьте на 2 чтобы получить. u'''xxy Все остальные производные из поста №2 равны нулю. *** Н-да, в этом разделе не хватает соответствующего FAQ по сабжу 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 18:54 [ТС]	19
	Сообщение от cmath $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d^3u=u'''_{xxx}dx^3+3u'''_{xxy}dx^2dy+3u'''_{xyy}dxdy^2+u'''_{yyy}dy^3$ Так лучше? Вообще же надо просто подставить вместо значков производных выражения, которые получилиь, плюс два последних слагаемых исчезнут ввиду равенства нулю производных. Вообще же dx^3 и прочие считайте обычным множителем. (как если бы умножали на какое-то число) лучше)) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d^3u=-\frac{12y}{{x}^{4}}{dx}^{3}+\frac{12}{{x}^{3}}{dx}^{2}dy$ ммм вот так получается? 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 17:09	2
	Производные для начала найдите. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=?\\u_{xxy}'''=?\\u_{xyy}'''=?\\u_{yyy}'''=?\\$ 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 17:10 [ТС]	3
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{2y}{x}, {d}^{3}u=?$ Добавлено через 1 минуту Сообщение от cmath Производные для начала найдите. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=?\\u_{xxy}'''=?\\u_{xyy}'''=?\\u_{yyy}'''=?\\$ а как производную найти по (xxx) , (xxy), (yyy)? 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 17:12	4
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'''_{xxx}=\frac{\partial ^3u}{\partial x^3}$ Три раза дифференцируем по x 1

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 17:16 [ТС]	5
	Сообщение от cmath $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'''_{xxx}=\frac{\partial ^3u}{\partial x^3}$ Три раза дифференцируем по x эмм.. а можно на примере каком нить? я не понимаю просто..( 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 17:18	6
	u=x^3y u'x=3x^2y u''xx=6xy u'''xxx=6y u'''yyy=0 u'''yxx=6x u'''xyx=6x u'''yyx=0 etc 1

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 17:23 [ТС]	7
	Сообщение от cmath u=x^3y u'x=3x^2y u''xx=6xy etc вот досюда понял. а почему потом u'''=6y? и дальше тоже не совсем понятно..(( 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 17:27	8
	Сообщение от cmath u'''xxx=6y Если C - константа, то 3-я производная от f(x)=Сх^3 будет равна 6С. Не находите? Когда мы берём производнуюпо какой-либо переменной, со всеми другими переменными обращаемся как с константами. 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 17:34 [ТС]	9
	Сообщение от cmath Если C - константа, то 3-я производная от f(x)=Сх^3 будет равна 6С. Не находите? Когда мы берём производную по какой-либо переменной, со всеми другими переменными обращаемся как с константами. ааа вот это понял) Добавлено через 1 минуту Сообщение от cmath u=x^3y u'''yyy=0 u'''yxx=6x u'''xyx=6x u'''yyx=0 etc а вот это вот как находили? тут же гдето не только х но и y..? 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 17:37	10
	u'y=x^3 u''yx=3x^2 Последовательность букв указывает на порядок, в котором я дифференцировал. Сначала по y, затем получившееся по х. Новое дифференцирование по х даст 6х. Если продифференцируем по у получим нуль. Еще можно так написать: u'''yxx=((u'y)'x)'x 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 17:41 [ТС]	11
	u'''yyy=0 тут я так понимаю по y взяли, поэтому остальные константы. а производная от числа=0. так да? а вот u'''yxx=6x u'''xyx=6x не понятно... что значит (yxx) ? тут производную берем по какой переменной? Добавлено через 1 минуту Сообщение от cmath u'y=x^3 u''yx=3x^2 Последовательность букв указывает на порядок, в котором я дифференцировал. Сначала по y, затем получившееся по х. Новое дифференцирование по х даст 6х. Если продифференцируем по у получим нуль. Еще можно так написать: u'''yxx=((u'y)'x)'x аа ясно) а не подскажете формулу для нахождения производной по дроби? (ну я имею ввиду, в моем примере же дробь, вот по какой формуле ее производную находить?) 0

	08.05.2013, 05:22

Опции темы

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 17:43	12
	У вас $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=2yx^{-1}$ . А вообще есть таблицы производных (Двайта как пример), в которых это можно подсмотреть 1

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 18:22 [ТС]	13
	Сообщение от cmath У вас $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=2yx^{-1}$ . А вообще есть таблицы производных (Двайта как пример), в которых это можно подсмотреть спасибо) как найду производные напишу Добавлено через 11 минут Сообщение от cmath $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=-2y\\u_{xxy}'''=-2\\u_{xyy}'''=-2x\\u_{yyy}'''=-2\\$ так? 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 18:37 [ТС]	15
	Сообщение от cmath Производные для начала найдите. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{xxx}'''=-\frac{12y}{{x}^{4}}\\u_{xxy}'''=\frac{4}{{x}^{3}}\\u_{xyy}'''=0\\u_{yyy}'''=0\\$ ммм вот так? 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 18:41	16
	Сообщение от alucard115 ммм вот так? Ура! Вы поняли. Значит не зря столько писанины наделал. А теперь получим дифференциал как u'''xxx dx dx dx + 3u'''xxy dx dx dy + 3u'''xyy dx dy dy + u'''yyy dy dy dy 1

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 18:44 [ТС]	17
	Сообщение от cmath Ура! Вы поняли. Значит не зря столько писанины наделал. А теперь получим дифференциал как u'''xxx dx dx dx + 3u'''xxy dx dx dy + 3u'''xyy dx dy dy + u'''yyy dy dy dy эмм.. простите, но как тут складывать?) у меня вызывают сомнения dxы..) 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 18:48	18
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d^3u=u'''_{xxx}dx^3+3u'''_{xxy}dx^2dy+3u'''_{xyy}dxdy^2+u'''_{yyy}dy^3$ Так лучше? Вообще же надо просто подставить вместо значков производных выражения, которые получилиь, плюс два последних слагаемых исчезнут ввиду равенства нулю производных. Вообще же dx^3 и прочие считайте обычным множителем. (как если бы умножали на какое-то число) 1