Частные производные первого и второго порядков

@alucard115 · Регистрация: 07.05.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите решить такую вот задачу, желательно с подробностями, чтобы понять как решать.
Для функции z=f(x,y), заданной неявно, найти частные производные первого и второго порядков.

Добавлено через 34 минуты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=xz$

@cmath · 07.05.2013, 17:24

Example:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2+z^2=xz|\frac{\partial }{\partial x}\\2x+2zz'_x=xz'_x+z\\z'_x=\frac{2x-z}{x-2z}$

@alucard115 · 07.05.2013, 18:18 **[ТС]**

т.е. ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \\z'_x=\frac{2x-z}{x-2z}$ ?

@cmath · 07.05.2013, 18:20

Сообщение от alucard115

т.е. ответ

Нет. Это только его часть. Я показал, как найти частную производную по х. Осмыслите написанное и решайте по примеру.

@alucard115 · 07.05.2013, 18:27 **[ТС]**

Сообщение от alucard115

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \\z'_x=\frac{2x-z}{x-2z}$ ?

ну я так понял, по заданию, надо от этого найти z''. правильно?

@cmath · 07.05.2013, 18:33

Не только. Надо еще z'y, z''yy z''xy, а не только z''xx. А откройте-ка вы книжку Шипачёва "высшая математика". Там прекрасно изложено. Кратко и по существу. А заодно и Запорожца "руководство к решению задач по математическому анализу". Сударь, читайте книги и будет вам счастье.

@alucard115 · 07.05.2013, 20:41 **[ТС]**

почитаю) подскажите пожалуйста как z'y найти? а z''yy, z''xy и z''xx я постараюсь сам найти.

@cmath · 08.05.2013, 05:25

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2+z^2=xz|\frac{\partial }{\partial y}\\2y+2zz'_y=xz'_y\\z'_y=\frac{2y}{x-2z}$

@alucard115 · 08.05.2013, 22:27 **[ТС]**

вот, я решил, проверьте пожалуйста, правильно или нет? и Ответом будет эти 5 значений?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{z'}_{x}=\frac{2x-z}{x-2z}\\ {z''}_{xx}=\frac{2}{x-2z}-\frac{2x-z}{{x-2z}^{2}}\\ {z''}_{xy}=0\\ {z'}_{y}=\frac{2y}{x-2z}\\ {z''}_{yy}=\frac{2}{x-2z}\\$

Добавлено через 12 минут
да, и z''xx, можно наверно упростить, и получиться:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{z''}_{xx}=-\frac{3z}{{x-2z}^{2}}$

так?

@cmath · 09.05.2013, 04:48

Сообщение от alucard115

так?

Нет.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x^2+y^2+z^2=xz|\frac{\partial }{\partial y}\\ 2y+2zz'_y=xz'_y\\ z'_y=\frac{2y}{x-2z}\\ 2y+2zz'_y=xz'_y|\frac{\partial }{\partial y}\\ 2+2z'_y^2+2zz''_{yy}=xz''_{yy}\\ z''_{yy}=\frac{2+2z'_y^2}{x-2z}=\frac{2}{x-2z}+\frac{8y^2}{(x-2z)^3} $

Добавлено через 1 минуту
Производную по хх и по ху также неправильно взяли

Добавлено через 1 минуту
Не забывайте, что функция неявно задана. Т.е. z в знаменателе у производных по x и y является функцией z=z(x,y) и обращаться с z надо как с функцией, а не константой.

@alucard115 · 09.05.2013, 20:33 **[ТС]**

что то не понял..((( с явной функцией как то разобрался, там по проще... а тут не понимаю, как влияет, то, что z не константа а функция... тем более почему, и как понять z=z(x,y) ?
можете как нить попроще объяснить? или на примере каком нить разобрать подробнее, что и как берется... пожалуйста..

@cmath · 09.05.2013, 20:45

Сообщение от alucard115

z=z(x,y)

Просто значки. Обозначают, что z - функция, а не аргумент.
Положим пример: найти производную неявно заданной функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy+\cos y=1$
Решением будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{y}{\sin y-x}$
Найдем вторую производную: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{y}{\sin y-x}|\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} x}y''=\frac{y'(\sin y-x)-y(y'\cos y-1)}{(\sin y+x)^2}$
Дальше подставляем y'
***
Вернусь к z'x $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'x=\frac{2x-z}{x-2z}$ будем считать 2x-z функцией f, а x-2z функцией g. Наша задача - найте производную частного этих функций по какой-либо переменной: либо по х, либо по у.
Найдём по х: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{f'_xg-fg'_x}{g^2}\\f=2x-z,\;f'_x=2-z'_x,\;g=x-2z,\;g'_x=1-2z'_x$
Осталось только сделать подстановки.

@alucard115 · 09.05.2013, 20:45 **[ТС]**

я думал, что z''yy находится от z'y .... но это по видимому не так?

@cmath · 09.05.2013, 20:47

Сообщение от alucard115

но это по видимому не так?

Всё так, просто этот способ не единственный.

Добавлено через 42 секунды
Кстати найдите дифференцированием по у z'y. Сравните результаты.

@alucard115 · 09.05.2013, 20:56 **[ТС]**

Сообщение от cmath

Просто значки. Обозначают, что z - функция, а не аргумент.

Вернусь к z'x $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'x=\frac{2x-z}{x-2z}$ будем считать 2x-z функцией f, а x-2z функцией g. Наша задача - найте производную частного этих функций по какой-либо переменной: либо по х, либо по у.
Найдём по х: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{f'_xg-fg'_x}{g^2}\\f=2x-z,\;f'_x=2-z'_x,\;g=x-2z,\;g'_x=1-2z'_x$
Осталось только сделать подстановки.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{(2-{z'}_{x})*(x-2z)-(2x-z)*(1-2{z'}_{x})}{{(x-2z)}^{2}}$
эм.. так?

@cmath · 09.05.2013, 20:57

Да, но надо еще подставить z'x

@alucard115 · 09.05.2013, 20:59 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{(2-\frac{(2x-z)}{(x-2z)})*(x-2z)-(2x-z)*(1-2\frac{(2x-z)}{(x-2z)})}{{(x-2z)}^{2}}$

@cmath · 09.05.2013, 21:02

Вот! Осталась маленькая формальность - упростить это нагромождение значков

@alucard115 · 09.05.2013, 21:19 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(-6)*({z}^{2}-xz+{x}^{2})}{8{z}^{3}-12x{z}^{2}+6{x}^{2}z-{x}^{3}}$
так?

@cmath · 09.05.2013, 22:11

Вроде так

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	09.05.2013, 04:48	10
	Сообщение от alucard115 так? Нет. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^2+y^2+z^2=xz\|\frac{\partial }{\partial y}\\<br /> 2y+2zz'_y=xz'_y\\<br /> z'_y=\frac{2y}{x-2z}\\<br /> 2y+2zz'_y=xz'_y\|\frac{\partial }{\partial y}\\<br /> 2+2z'_y^2+2zz''_{yy}=xz''_{yy}\\<br /> z''_{yy}=\frac{2+2z'_y^2}{x-2z}=\frac{2}{x-2z}+\frac{8y^2}{(x-2z)^3}<br />$ Добавлено через 1 минуту Производную по хх и по ху также неправильно взяли Добавлено через 1 минуту Не забывайте, что функция неявно задана. Т.е. z в знаменателе у производных по x и y является функцией z=z(x,y) и обращаться с z надо как с функцией, а не константой. 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	09.05.2013, 20:47	14
	Сообщение от alucard115 но это по видимому не так? Всё так, просто этот способ не единственный. Добавлено через 42 секунды Кстати найдите дифференцированием по у z'y. Сравните результаты. 1

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	09.05.2013, 20:57	16
	Да, но надо еще подставить z'x 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
		1
	Частные производные первого и второго порядков 07.05.2013, 17:04. Показов 3494. Ответов 21 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите решить такую вот задачу, желательно с подробностями, чтобы понять как решать. Для функции z=f(x,y), заданной неявно, найти частные производные первого и второго порядков. Добавлено через 34 минуты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=xz$ 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 17:24	2
	Example: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2+z^2=xz\|\frac{\partial }{\partial x}\\2x+2zz'_x=xz'_x+z\\z'_x=\frac{2x-z}{x-2z}$ 1

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 18:18 [ТС]	3
	т.е. ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \\z'_x=\frac{2x-z}{x-2z}$ ? 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 18:20	4
	Сообщение от alucard115 т.е. ответ Нет. Это только его часть. Я показал, как найти частную производную по х. Осмыслите написанное и решайте по примеру. 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 18:27 [ТС]	5
	Сообщение от alucard115 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \\z'_x=\frac{2x-z}{x-2z}$ ? ну я так понял, по заданию, надо от этого найти z''. правильно? 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	07.05.2013, 18:33	6
	Не только. Надо еще z'y, z''yy z''xy, а не только z''xx. А откройте-ка вы книжку Шипачёва "высшая математика". Там прекрасно изложено. Кратко и по существу. А заодно и Запорожца "руководство к решению задач по математическому анализу". Сударь, читайте книги и будет вам счастье. 2

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	07.05.2013, 20:41 [ТС]	7
	почитаю) подскажите пожалуйста как z'y найти? а z''yy, z''xy и z''xx я постараюсь сам найти. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	08.05.2013, 05:25	8
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2+z^2=xz\|\frac{\partial }{\partial y}\\2y+2zz'_y=xz'_y\\z'_y=\frac{2y}{x-2z}$ 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	08.05.2013, 22:27 [ТС]	9
	вот, я решил, проверьте пожалуйста, правильно или нет? и Ответом будет эти 5 значений? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{z'}_{x}=\frac{2x-z}{x-2z}\\<br /> {z''}_{xx}=\frac{2}{x-2z}-\frac{2x-z}{{x-2z}^{2}}\\<br /> {z''}_{xy}=0\\<br /> {z'}_{y}=\frac{2y}{x-2z}\\<br /> {z''}_{yy}=\frac{2}{x-2z}\\$ Добавлено через 12 минут да, и z''xx, можно наверно упростить, и получиться: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{z''}_{xx}=-\frac{3z}{{x-2z}^{2}}$ так? 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	09.05.2013, 20:33 [ТС]	11
	что то не понял..((( с явной функцией как то разобрался, там по проще... а тут не понимаю, как влияет, то, что z не константа а функция... тем более почему, и как понять z=z(x,y) ? можете как нить попроще объяснить? или на примере каком нить разобрать подробнее, что и как берется... пожалуйста.. 0

	09.05.2013, 22:11

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	09.05.2013, 20:45	12
	Сообщение от alucard115 z=z(x,y) Просто значки. Обозначают, что z - функция, а не аргумент. Положим пример: найти производную неявно заданной функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy+\cos y=1$ Решением будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{y}{\sin y-x}$ Найдем вторую производную: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{y}{\sin y-x}\|\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} x}y''=\frac{y'(\sin y-x)-y(y'\cos y-1)}{(\sin y+x)^2}$ Дальше подставляем y' *** Вернусь к z'x $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'x=\frac{2x-z}{x-2z}$ будем считать 2x-z функцией f, а x-2z функцией g. Наша задача - найте производную частного этих функций по какой-либо переменной: либо по х, либо по у. Найдём по х: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{f'_xg-fg'_x}{g^2}\\f=2x-z,\;f'_x=2-z'_x,\;g=x-2z,\;g'_x=1-2z'_x$ Осталось только сделать подстановки. 1

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	09.05.2013, 20:45 [ТС]	13
	я думал, что z''yy находится от z'y .... но это по видимому не так? 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	09.05.2013, 20:56 [ТС]	15
	Сообщение от cmath Просто значки. Обозначают, что z - функция, а не аргумент. Вернусь к z'x $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'x=\frac{2x-z}{x-2z}$ будем считать 2x-z функцией f, а x-2z функцией g. Наша задача - найте производную частного этих функций по какой-либо переменной: либо по х, либо по у. Найдём по х: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{f'_xg-fg'_x}{g^2}\\f=2x-z,\;f'_x=2-z'_x,\;g=x-2z,\;g'_x=1-2z'_x$ Осталось только сделать подстановки. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{(2-{z'}_{x})(x-2z)-(2x-z)(1-2{z'}_{x})}{{(x-2z)}^{2}}$ эм.. так? 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	09.05.2013, 20:59 [ТС]	17
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{f}{g})'_x=\frac{(2-\frac{(2x-z)}{(x-2z)})(x-2z)-(2x-z)(1-2\frac{(2x-z)}{(x-2z)})}{{(x-2z)}^{2}}$ 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	09.05.2013, 21:02	18
	Вот! Осталась маленькая формальность - упростить это нагромождение значков 0

@alucard115 10 / 1 / 1 Регистрация: 07.05.2013 Сообщений: 67
	09.05.2013, 21:19 [ТС]	19
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(-6)*({z}^{2}-xz+{x}^{2})}{8{z}^{3}-12x{z}^{2}+6{x}^{2}z-{x}^{3}}$ так? 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	09.05.2013, 22:11	20
	Вроде так 1