Обозначения в топологии

@RiaLaiia · Регистрация: 21.06.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Изучаю топологию. Ну например есть база топологии В. И например А и C мн-ва... И вижу в учебнике такую запись... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, C \in B$ Я не могу понять. Как тут может использовать значок принадлежности??? Ведь это получается подмножества! И нужен значок подмножества. Иногда и такую запись встречаю - В база топологии, и например $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B'\subseteq B$ . Дак чем эти записи отличаются? Объясните и желательно приведите пример, пожалуйста)

@cmath · 04.09.2014, 08:57

Думаю, значок "принадлежит" может применяться к множествам, если они сами являются элементами множества. Например, множество А "яблоки" - элементы множества В "виды фруктов", при этом сами яблоки, красные, зеленые и проч. не являются элементами множества В. Хотя не совсем удачный пример... Лучше - есть множество, у него есть подмножества. А есть множество его подмножеств - булеан. При этом сам по себе элемент подмножества не является элементом булеана, поскольку он "ценен" для булеана только вместе с остальными элементами, а не сам по себе. У Хаусдорфа где-то было - "Множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое." В случае с булеаном множество как элемент и элемент как элемент (простите за тавтологию) - не единое целое.

zer0mail · 04.09.2014, 15:44

Открытые множества A и C принадлежат базе топологии B, что тут странного?

@helter · 05.09.2014, 01:45

(X, τ) - топологическое пространство.

Множество открытых множеств B называется базой топологии τ, если каждое открытое множество есть объединение множеств, принадлежащих τ.

Обратите внимание: множество открытых множеств. Элементами B являются открытые множества.

Например, одной из баз обычной топологии на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^1$ является множество B интервалов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{(\alpha, \beta): \alpha, \beta \in {\mathbb R}^1\}$ . Тогда, например, (0, 1) ∈ B, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0,1) \cup (2, 3) \notin B$ . Другой базой B' является множество интервалов с рациональными концами: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{(\alpha, \beta) : \alpha, \beta \in {\mathbb Q}\}$ . Ясно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B' \subset B$ , но при этом B' ≠ B, так как, например, интервал (0, 2π) принадлежит B, но не B'.

Множества множеств встречаются уже в самом начале топологии, потому что сама топология - это и есть набор множеств.

Но чтобы встретиться с множествами, состоящими из множеств, необязательно лезть в топологию. Например, множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников.

Обозначения в топологии

Решение

Решение

@RiaLaiia 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.06.2014 Сообщений: 52
		1
	Обозначения в топологии 03.09.2014, 20:46. Показов 1888. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Изучаю топологию. Ну например есть база топологии В. И например А и C мн-ва... И вижу в учебнике такую запись... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A, C \in B$ Я не могу понять. Как тут может использовать значок принадлежности??? Ведь это получается подмножества! И нужен значок подмножества. Иногда и такую запись встречаю - В база топологии, и например $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B'\subseteq B$ . Дак чем эти записи отличаются? Объясните и желательно приведите пример, пожалуйста) 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	04.09.2014, 08:57	2
	Сообщение было отмечено RiaLaiia как решение Решение Думаю, значок "принадлежит" может применяться к множествам, если они сами являются элементами множества. Например, множество А "яблоки" - элементы множества В "виды фруктов", при этом сами яблоки, красные, зеленые и проч. не являются элементами множества В. Хотя не совсем удачный пример... Лучше - есть множество, у него есть подмножества. А есть множество его подмножеств - булеан. При этом сам по себе элемент подмножества не является элементом булеана, поскольку он "ценен" для булеана только вместе с остальными элементами, а не сам по себе. У Хаусдорфа где-то было - "Множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое." В случае с булеаном множество как элемент и элемент как элемент (простите за тавтологию) - не единое целое. 1

zer0mail 2662 / 2237 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,138 Записей в блоге: 1
	04.09.2014, 15:44	3
	Открытые множества A и C принадлежат базе топологии B, что тут странного? 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	05.09.2014, 01:45	4
	Сообщение было отмечено RiaLaiia как решение Решение (X, τ) - топологическое пространство. Множество открытых множеств B называется базой топологии τ, если каждое открытое множество есть объединение множеств, принадлежащих τ. Обратите внимание: множество открытых множеств. Элементами B являются открытые множества. Например, одной из баз обычной топологии на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb R}^1$ является множество B интервалов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{(\alpha, \beta): \alpha, \beta \in {\mathbb R}^1\}$ . Тогда, например, (0, 1) ∈ B, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0,1) \cup (2, 3) \notin B$ . Другой базой B' является множество интервалов с рациональными концами: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{(\alpha, \beta) : \alpha, \beta \in {\mathbb Q}\}$ . Ясно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B' \subset B$ , но при этом B' ≠ B, так как, например, интервал (0, 2π) принадлежит B, но не B'. Множества множеств встречаются уже в самом начале топологии, потому что сама топология - это и есть набор множеств. Но чтобы встретиться с множествами, состоящими из множеств, необязательно лезть в топологию. Например, множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников. 1

Опции темы