Об абсолютно непрерывных функциях

@rurenko · Регистрация: 15.04.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

С праздником всех!
Очень интересует вопрос- верна ли такая теорема( в Натансоне не нашла):
Если производная f'(x) абсолютно непрерывной функции f(x) почти везде положительна, то функция f(x) возрастает.
Если очевидна, то хотелось бы пояснить почему.

@helter · 23.02.2017, 15:52

Предположим, что производная почти всюду неотрицательна. Пусть x1 < x2, тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x_2) - f(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f'(x)\,dx \ge 0$
то есть из неотрицательности производной следует нестрогое возрастание.

Пусть теперь производная почти всюду положительна. Покажем, что функция строго возрастает. Предположим, что это не так, и для x1 < x2 имеем f(x1) = f(x2). Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x_1}^{x_2} f'(x)\,dx = f(x_2) - f(x_1) = 0$
откуда следует, что f' почти всюду равна 0 на (x1, x2), противоречие.

@rurenko · 23.02.2017, 16:16 **[ТС]**

helter, спасибо большое!

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
		1
	Об абсолютно непрерывных функциях 23.02.2017, 14:58. Показов 1097. Ответов 2 Метки нет (Все метки) С праздником всех! Очень интересует вопрос- верна ли такая теорема( в Натансоне не нашла): Если производная f'(x) абсолютно непрерывной функции f(x) почти везде положительна, то функция f(x) возрастает. Если очевидна, то хотелось бы пояснить почему. 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	23.02.2017, 15:52	2
	Сообщение было отмечено rurenko как решение Решение Предположим, что производная почти всюду неотрицательна. Пусть x1 < x2, тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x_2) - f(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f'(x)\,dx \ge 0$ то есть из неотрицательности производной следует нестрогое возрастание. Пусть теперь производная почти всюду положительна. Покажем, что функция строго возрастает. Предположим, что это не так, и для x1 < x2 имеем f(x1) = f(x2). Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x_1}^{x_2} f'(x)\,dx = f(x_2) - f(x_1) = 0$ откуда следует, что f' почти всюду равна 0 на (x1, x2), противоречие. 2

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	23.02.2017, 16:16 [ТС]	3
	helter, спасибо большое! 0

Об абсолютно непрерывных функциях

Решение