Тригонометрическое уравнение - 1

@grigandal1580 · Регистрация: 16.01.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Первое уравнение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sin}^{3}x+{cos}^{3}x=1$

пробовал разложить по сумме кубов и единицу представить по основному тождеству - все равно не получилось

@jogano · 02.10.2017, 04:42

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x\leq 1 \: \Rightarrow \: \sin ^3 x\leq \sin ^2 x\\\cos x\leq 1 \: \Rightarrow \: \cos ^3 x\leq \cos ^2 x$
Складываем почленно последние неравенства в обеих строках, получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^3 x+\cos ^3 x\leq \sin ^2 x+ \cos ^2 x=1$
А у вас сумма кубов принимает максимальное значение 1, что может быть только тогда, когда оба неравенства выше выполнены как равенства, что означает, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\sin ^3 x=\sin ^2 x\\ \cos ^3 x=\cos ^2 x \end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}\left[\begin{matrix}\sin x=0\\ sin x=1\end{matrix} \right.\\ \left[\begin{matrix}\cos x=0\\ \cos x=1\end{matrix} \right. \end{cases}$
Дальше на тригонометрическом круге пересекаете два множества точек: для которых синус равен 0 или 1 (3 точки), и для которых косинус равен 0 или 1 (3 точки), получаете ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left{2 \pi k, \: \frac{\pi}{2}+2 \pi k, \: k \in \mathcal{Z} \right}$

Сообщение от grigandal1580

пробовал разложить по сумме кубов и единицу представить по основному тождеству - все равно не получилось

Можно и так сделать, без неравенств и оценок.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^3x+\cos ^3=\left(\sin x+\cos x \right)\left(\sin^2 x+\cos^2 x-\sin x \cos x \right)=\left|u:=\sin x+\cos x \right|=u\left(u^2-3\sin x\cos x \right)$
Но так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u^2=1+2\sin x \cos x \: \Rightarrow \: \sin x \cos x =\frac{u^2-1}{2}$ , и подставляя это произведение, выраженное через u, в первое равенство, получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u\left(u^2-3\frac{u^2-1}{2} \right)=1\\u \frac{3-u^2}{2}=1\\u^3-3u+2=0$
Корень 1 очевиден. Понижаем степень по схеме Горнера, получаем квадратное уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u^2+u-2=0 \: \Rightarrow \: u \in \left{1; \: -2 \right}$
Выходит, кубическое уравнение имеет корень 1 кратности 2 и корень -2 кратности 1. Второй корень не подходит - сумма синуса и косинуса одинакового угла ограничена отрезком $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right]$
Остаётся u=1. Дальше опять можно на круге сделать. По определению синуса и косинуса синус - это ордината точек круга, а косинус - абсцисса. Значит, нужно пересечь единичную окружность прямой Y=1-X, получим 2 точки. Неизвестное х - полярные углы этих точек. Ответ тот же.
Кстати, на той же окружности видно, что сумма синуса и косинуса лежит в пределах указанного выше отрезка. Достаточно найти такие постоянные А, чтобы прямые Y=A-X имели бы с тригонометрическим кругом общие точки. А это возможно только если эти прямые лежат между касательными к окружности, а касательные будут при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A \in \left{\pm \sqrt{2} \right}$ из геометрических соображений, и при каких именно х эти крайние значения достигаются.

Байт · 02.10.2017, 10:41

В качестве проверки усвоенности материала могу предложить решить уравнение
sin⁷x + cos²⁰¹⁷x = 1

@SSC · 03.10.2017, 14:08

Байт, график Вашего уравнения очень оригинальный

Байт · 03.10.2017, 15:52

Сообщение от SSC

Байт, график Вашего уравнения очень оригинальный

Спасибо за картинку. Теперь, если мне понадобится рисовать всяких монстров, я знаю с чего начать

@golatin · 03.10.2017, 20:43

Сообщение от jogano

Дальше на тригонометрическом круге пересекаете два множества точек: для которых синус равен 0 или 1 (3 точки), и для которых косинус равен 0 или 1 (3 точки), получаете ответ

GOOGLE говорит, что одно решение утеряно:

@jogano · 03.10.2017, 20:56

golatin, график Гугл нужно ещё интерпретировать правильно.

@golatin · 03.10.2017, 21:58

Извиняюсь,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{\frac{\pi }{2}+2\pi k\}$ не увидел.

@grigandal1580 6 / 5 / 3 Регистрация: 16.01.2016 Сообщений: 255
		1
	Тригонометрическое уравнение - 1 01.10.2017, 22:44. Показов 906. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Первое уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{sin}^{3}x+{cos}^{3}x=1$ пробовал разложить по сумме кубов и единицу представить по основному тождеству - все равно не получилось 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	02.10.2017, 04:42	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x\leq 1 \: \Rightarrow \: \sin ^3 x\leq \sin ^2 x\\\cos x\leq 1 \: \Rightarrow \: \cos ^3 x\leq \cos ^2 x$ Складываем почленно последние неравенства в обеих строках, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^3 x+\cos ^3 x\leq \sin ^2 x+ \cos ^2 x=1$ А у вас сумма кубов принимает максимальное значение 1, что может быть только тогда, когда оба неравенства выше выполнены как равенства, что означает, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\sin ^3 x=\sin ^2 x\\ \cos ^3 x=\cos ^2 x \end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}\left[\begin{matrix}\sin x=0\\ sin x=1\end{matrix} \right.\\ \left[\begin{matrix}\cos x=0\\ \cos x=1\end{matrix} \right. \end{cases}$ Дальше на тригонометрическом круге пересекаете два множества точек: для которых синус равен 0 или 1 (3 точки), и для которых косинус равен 0 или 1 (3 точки), получаете ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left{2 \pi k, \: \frac{\pi}{2}+2 \pi k, \: k \in \mathcal{Z} \right}$ Сообщение от grigandal1580 пробовал разложить по сумме кубов и единицу представить по основному тождеству - все равно не получилось Можно и так сделать, без неравенств и оценок. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin ^3x+\cos ^3=\left(\sin x+\cos x \right)\left(\sin^2 x+\cos^2 x-\sin x \cos x \right)=\left\|u:=\sin x+\cos x \right\|=u\left(u^2-3\sin x\cos x \right)$ Но так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u^2=1+2\sin x \cos x \: \Rightarrow \: \sin x \cos x =\frac{u^2-1}{2}$ , и подставляя это произведение, выраженное через u, в первое равенство, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u\left(u^2-3\frac{u^2-1}{2} \right)=1\\u \frac{3-u^2}{2}=1\\u^3-3u+2=0$ Корень 1 очевиден. Понижаем степень по схеме Горнера, получаем квадратное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u^2+u-2=0 \: \Rightarrow \: u \in \left{1; \: -2 \right}$ Выходит, кубическое уравнение имеет корень 1 кратности 2 и корень -2 кратности 1. Второй корень не подходит - сумма синуса и косинуса одинакового угла ограничена отрезком $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right]$ Остаётся u=1. Дальше опять можно на круге сделать. По определению синуса и косинуса синус - это ордината точек круга, а косинус - абсцисса. Значит, нужно пересечь единичную окружность прямой Y=1-X, получим 2 точки. Неизвестное х - полярные углы этих точек. Ответ тот же. Кстати, на той же окружности видно, что сумма синуса и косинуса лежит в пределах указанного выше отрезка. Достаточно найти такие постоянные А, чтобы прямые Y=A-X имели бы с тригонометрическим кругом общие точки. А это возможно только если эти прямые лежат между касательными к окружности, а касательные будут при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A \in \left{\pm \sqrt{2} \right}$ из геометрических соображений, и при каких именно х эти крайние значения достигаются. 2

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	02.10.2017, 10:41	3
	В качестве проверки усвоенности материала могу предложить решить уравнение sin⁷x + cos²⁰¹⁷x = 1 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	03.10.2017, 14:08	4
	Байт, график Вашего уравнения очень оригинальный Миниатюры 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	03.10.2017, 15:52	5
	Сообщение от SSC Байт, график Вашего уравнения очень оригинальный Спасибо за картинку. Теперь, если мне понадобится рисовать всяких монстров, я знаю с чего начать 0

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	03.10.2017, 20:43	6
	Сообщение от jogano Дальше на тригонометрическом круге пересекаете два множества точек: для которых синус равен 0 или 1 (3 точки), и для которых косинус равен 0 или 1 (3 точки), получаете ответ GOOGLE говорит, что одно решение утеряно: Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	03.10.2017, 20:56	7
	golatin, график Гугл нужно ещё интерпретировать правильно. 0

@golatin 317 / 268 / 61 Регистрация: 12.10.2011 Сообщений: 434
	03.10.2017, 21:58	8
	Извиняюсь, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{\frac{\pi }{2}+2\pi k\}$ не увидел. 0