@Veyron

Система приложена (только не стоит скобка системы - с новой строки новое уравнение).

Условие: Найти все а, при которых система имеет ровно два решения.

Уже день думаю, ничего в голову прийти не может. Есть кое-какие наработки, но получается показательная функция с охенным показателем, описать ее поведение не знаю как, т.к. построил в графопостроителе - интересная песня получается.

Заранее спасибо за помощь! :-)

Миниатюры

 

0

@Veyron

Была идея найти значения у, при которых второе уравнение будет иметь два корня - это от нуля до 12,25. А дальше получается логарифм из 27/(а+4) по основанию 3 равен корень квадратный -у^3 степени из у. Вот это да.

0

@Eugeniy

Veyron, сделайте такие две очевидные замены, а далее все решается графически, правда не забывайте про МДЗ





Итого, при соответствующих u и v систему можно переписать так



Где v - константа больше нуля, и не равняющейся единице.

1

@Veyron

Решил аналитическим способом, но построение графиков пригодилось. В решении, как мне кажется, есть небольшая неточность. Она выделена жирным шрифтом, подправьте, если она не верна.

Рассмотрим первое уравнение. Исходя из второго уравнения, получим:

Функция слева пусть будет f, справа g.

График функции g - кубическая парабола, убывающая на всей области определения.
Если основание логарифма меньше единицы, то функции будут убывать. f(1)>g(1), и скорость убывания функции g больше. Следовательно, решений у системы не будет.
Если основание логарифма больше единицы, то по теореме о единственности корня (g убывает, f возрастает) y будет один, причем 0<y<1, т.к. g(0) = 0, а f при х стремящемся к 0 стремится к бесконечности, а g(1)<f(1), то есть у удовлетворяет условию, что дискриминант второго уравнения больше нуля (y<12,25). Поэтому решением будет:







Учтем также, что a+4>0 (по определению логарифма).
Поэтому a принимает значения (-4; 5).

0

@Eugeniy

Решение будет, но одно.
Вам надо исследовать случай, когда решений будет два. Для этого надо рассмотреть разницу Ваших графиков функций, и найти точку минимума, для фиксированных a эта точка минимума должна лежать ниже оси абсцисс, только тогда система буде иметь два решения.

0

@Argo

Подскажите, что является графиком функции `y=(x-2a)/(x+a)`

0

@Igor

Гипербола

1

@Veyron

По идее в этом случае пожет быть и 0, и 1, и 2 решения. В решебнике ответ дан неверный, там не учтен случай как раз именно этот. точно ответ не помню, но там что-то типа единица, деленная на экспоненту в какой-то степени экспоненты (это пограничное значение, там оно просто входит в интервал).

0

Василий Придур

Добавлено через 55 секунд
Я с тобой полностью согласен

@Eugeniy

В учебнике все правильно. Я сам решал систему и говорю точно существует такие параметры, что эта система имеет два решения.

0