Функциональный анализ, тема функционалы

@batton · Регистрация: 03.04.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

для данного функционала F установить, является ли он линейным. Найти экстремальные значения функционал на множестве D(F) и функции, на которых эти экстремумы достигаюся.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{0}^{2}|x(t)-t|dt$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(F)=(x\epsilon C(0;2), x(t)\succeq sqrt(t))$

я пришел к тому, что данный интеграл это метрика в пространстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^2(0,2)$ , следовательно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_{max}_{}=$ ∞

а вот с минимумом сообразить не могу, вроде как он достигается когда расстояние между неизвестной функцией и функцией $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt(t)$ , а вот какая эта функция, закончить соображение не получается.

@helter · 31.05.2013, 15:02

Во-первых, это не метрика: метрика есть расстояние между двумя точками, а здесь функционал от одного аргумента. И это даже не норма.

Во-вторых, написанный интеграл действительно можно интерпретировать как расстояние от х до фиксированного вектора x₀(t) = t, но в L₁, а не в L₂.

В-третьих, из того, что функционал является расстоянием до фиксированной точки, не следует, что он ограничен на заданном множестве. Ведь множество вполне может быть ограниченным само. Хотя здесь да, он неограничен сверху.

В-четвёртых, в данной задаче можно только догадываться о топологии, рассматриваемой на области определения функционала. Наверно, это топология C[0,2], то есть топология равномерной сходимости. А без топологии понятие экстремума не имеет смысла.

Вообще, экстремумы - это сложно.

Если говорить о наименьшем значении, я бы попробовал доказать, что наименьшее значение на D(F) функционал принимает на функции, которая "ближе всего" к x₀(t) = t, то есть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y(t) = \begin{cases} \sqrt t, & t \in [0, \sqrt 2]\\ t, & t \in [\sqrt 2, 2]\\ \end{cases} $

@batton 2 / 2 / 0 Регистрация: 03.04.2013 Сообщений: 13
		1
	Функциональный анализ, тема функционалы 31.05.2013, 14:15. Показов 874. Ответов 1 Метки нет (Все метки) для данного функционала F установить, является ли он линейным. Найти экстремальные значения функционал на множестве D(F) и функции, на которых эти экстремумы достигаюся. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{0}^{2}\|x(t)-t\|dt$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(F)=(x\epsilon C(0;2), x(t)\succeq sqrt(t))$ я пришел к тому, что данный интеграл это метрика в пространстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^2(0,2)$ , следовательно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_{max}_{}=$ ∞ а вот с минимумом сообразить не могу, вроде как он достигается когда расстояние между неизвестной функцией и функцией $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sqrt(t)$ , а вот какая эта функция, закончить соображение не получается. 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	31.05.2013, 15:02	2
	Во-первых, это не метрика: метрика есть расстояние между двумя точками, а здесь функционал от одного аргумента. И это даже не норма. Во-вторых, написанный интеграл действительно можно интерпретировать как расстояние от х до фиксированного вектора x₀(t) = t, но в L₁, а не в L₂. В-третьих, из того, что функционал является расстоянием до фиксированной точки, не следует, что он ограничен на заданном множестве. Ведь множество вполне может быть ограниченным само. Хотя здесь да, он неограничен сверху. В-четвёртых, в данной задаче можно только догадываться о топологии, рассматриваемой на области определения функционала. Наверно, это топология C[0,2], то есть топология равномерной сходимости. А без топологии понятие экстремума не имеет смысла. Вообще, экстремумы - это сложно. Если говорить о наименьшем значении, я бы попробовал доказать, что наименьшее значение на D(F) функционал принимает на функции, которая "ближе всего" к x₀(t) = t, то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> y(t) = \begin{cases}<br /> \sqrt t, & t \in [0, \sqrt 2]\\<br /> t, & t \in [\sqrt 2, 2]\\<br /> \end{cases}<br />$ 1