Доказать, что средняя скорость молекул газа пропорциональна √p/p

@Summy · Регистрация: 05.11.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доказать, что средняя скорость молекул газа пропорциональна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{p/\rho }$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ — давление газа, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ — его плотность.

@DeadPenguin · 03.04.2016, 20:42

Summy, ну вообще это есть в любом учебнике, где говорится про распределение Максвелла. Что конкретно вызывает вопросы?

@Summy · 03.04.2016, 21:05 **[ТС]**

Может и говорится, в двух словах, как это любят. А мне надо доказать это дело, но знаний и информации мне не хватает, чтобы додуматься

Вот формула давления газа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =\frac{1}{3}{m}_{0}n{v}^{2}$ , наверное, надо какие-то действия с ней производить?

@DeadPenguin · 03.04.2016, 22:22

Summy, строго говоря, средняя скорость (как вектор) молекулы в газе равна нулю. Так что рассматриваем модуль скорости. Распределение Максвелла говорит нам, что плотность вероятности есть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(v_x, v_y, v_z) = \Big(\frac\alpha\pi\Big)^{3/2} e^{-\alpha v^2},$
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha=m/2kT$ , m — масса молекулы. Тогда средний модуль скорости равен
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar v = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty v f(v_x, v_y, v_z)\,dv_x\,dv_y\,dv_z = \int_0^\infty v\cdot \Big(\frac\alpha\pi\Big)^{3/2} e^{-\alpha v^2}\cdot 4\pi v^2 dv$
Вычисляя интеграл, получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar v = \frac{2}{\sqrt{\alpha\pi}}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$
Аналогично показывается, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{v^2} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
В любом случае, всё это пропорционально $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{kT/m}$ , что можно получить хотя бы из размерностей. Ну а теперь вспоминаем уравнение состояния идеального газа:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pV = \frac{M}{\mu}RT.$
Учитывая что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu = mN_A$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R=kN_A$ , получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = \frac{\rho}{mN_A}kN_AT = \rho\frac{kT}{m} \sim \rho v^2 \Longrightarrow v \sim \sqrt{\frac{p}{\rho}}$
(здесь под $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v$ понимает уже любую из средних скоростей)

Если же пользоваться формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = \frac13 m_0 nv^2$ , то тут как-бы и нечего выводить: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m_0n = m_0N/V = M/V = \rho$ , и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = \frac13\rho v^2$

@Summy · 03.04.2016, 22:52 **[ТС]**

Благодарю за разъяснения, мне бы и в голову не пришло зайти с этой стороны

@Summy 2 / 2 / 5 Регистрация: 05.11.2015 Сообщений: 90
		1
	Доказать, что средняя скорость молекул газа пропорциональна √p/p 03.04.2016, 19:04. Показов 3219. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Доказать, что средняя скорость молекул газа пропорциональна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{p/\rho }$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p$ — давление газа, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ — его плотность. 0

@DeadPenguin 66 / 66 / 31 Регистрация: 11.03.2016 Сообщений: 252
	03.04.2016, 20:42	2
	Summy, ну вообще это есть в любом учебнике, где говорится про распределение Максвелла. Что конкретно вызывает вопросы? 0

@Summy 2 / 2 / 5 Регистрация: 05.11.2015 Сообщений: 90
	03.04.2016, 21:05 [ТС]	3
	Может и говорится, в двух словах, как это любят. А мне надо доказать это дело, но знаний и информации мне не хватает, чтобы додуматься Вот формула давления газа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho =\frac{1}{3}{m}_{0}n{v}^{2}$ , наверное, надо какие-то действия с ней производить? 0

@DeadPenguin 66 / 66 / 31 Регистрация: 11.03.2016 Сообщений: 252
	03.04.2016, 22:22	4
	Сообщение было отмечено Summy как решение Решение Summy, строго говоря, средняя скорость (как вектор) молекулы в газе равна нулю. Так что рассматриваем модуль скорости. Распределение Максвелла говорит нам, что плотность вероятности есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(v_x, v_y, v_z) = \Big(\frac\alpha\pi\Big)^{3/2} e^{-\alpha v^2},$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha=m/2kT$ , m — масса молекулы. Тогда средний модуль скорости равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar v = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty v f(v_x, v_y, v_z)\,dv_x\,dv_y\,dv_z = \int_0^\infty v\cdot \Big(\frac\alpha\pi\Big)^{3/2} e^{-\alpha v^2}\cdot 4\pi v^2 dv$ Вычисляя интеграл, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar v = \frac{2}{\sqrt{\alpha\pi}}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ Аналогично показывается, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{v^2} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ В любом случае, всё это пропорционально $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{kT/m}$ , что можно получить хотя бы из размерностей. Ну а теперь вспоминаем уравнение состояния идеального газа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pV = \frac{M}{\mu}RT.$ Учитывая что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu = mN_A$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R=kN_A$ , получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = \frac{\rho}{mN_A}kN_AT = \rho\frac{kT}{m} \sim \rho v^2 \Longrightarrow v \sim \sqrt{\frac{p}{\rho}}$ (здесь под $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v$ понимает уже любую из средних скоростей) Если же пользоваться формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = \frac13 m_0 nv^2$ , то тут как-бы и нечего выводить: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m_0n = m_0N/V = M/V = \rho$ , и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = \frac13\rho v^2$ 1

@Summy 2 / 2 / 5 Регистрация: 05.11.2015 Сообщений: 90
	03.04.2016, 22:52 [ТС]	5
	Благодарю за разъяснения, мне бы и в голову не пришло зайти с этой стороны 0

Опции темы

Доказать, что средняя скорость молекул газа пропорциональна √p/p

Решение