Как решается краевая задача конечно-разностной схемой?

@SrgKord · Регистрация: 14.02.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Опишите, пожалуйста, алгоритм решения. Информация в сети по теме преимущественно из вузовских учебников, а я формулы как-то не очень хорошо воспринимаю.
Пример вот такой:

y^''=x, y^' (0)=0, y^' (1)=0,5, x∈[0,1]
Разбив отрезок [0,1] на четыре равных интервала n = 4, h = 0,25

@SrgKord · 07.07.2014, 18:12 **[ТС]**

Тогда попробую сделать как есть. Может там и будет видно.
Посмотрите, кстати, правильно ли я сделал.

@S_el · 07.07.2014, 18:25

SrgKord, не совсем верно,если аппроксимировать центральной разностью,то точность будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O({h}^{2})$ . Кстати,погрешность,как слагаемое не учитывается.

@SrgKord · 07.07.2014, 21:05 **[ТС]**

Смотрите, на первом скрине то, что получается у меня, а на втором пример из пособия. Мне кажется, у меня получилось не трехточечное разностное уравнение. И похоже, что не разностное. Вот видимо для этого и менялись там знаки, чтобы уравнение было разностным. Только не понятно правило, согласно которому задаются знаки.
И трехдиагональная матрица коэффициентов у меня не получится, а скорее четырехдиагональная будет. Это нормально?

@S_el · 07.07.2014, 22:08

Сообщение от SrgKord

Смотрите, на первом скрине то, что получается у меня, а на втором пример из пособия.

В пособии первая производная аппроксимирована не центральной разностью с квадратичной точностью,а разностью вперед,с точностью h.Поэтому и отличается вид уравнений.

Допустим у вас есть уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{k}{y}_{k+1}+{b}_{k}{y}_{k}+{c}_{k}{y}_{k-1}={f}_{k}$
коэффициенты a,b,c могут быть любыми(положительными/отрицательными).
Имея начальное условие,можно постепенно выражать следующую точку через предыдущую(прямая прогонка),а затем раскрутить систему обратно,опираясь на граничное условие второго конца.

P.S. Можете вообще не заморачиваться с прогонкой,а решать СЛАУ тем-же методом Гаусса.

@SrgKord · 08.07.2014, 14:32 **[ТС]**

Значит нет особого смысла в том, что в пособии знаки менялись? А последний коэффициент, f, он должен быть отрицательным?

Сообщение от S_el

Можете вообще не заморачиваться с прогонкой,а решать СЛАУ тем-же методом Гаусса

У меня в экзамене будет решение методом прогонки.

Добавлено через 9 часов 32 минуты
А если я для первой производной беру одностороннюю левую разность, у которой погрешность O(h), а для второй производной беру центральную разность, у которой O(h^2), то какая должна быть записана погрешность в правой части уравнения, где F_i

@SrgKord · 08.07.2014, 15:05 **[ТС]**

На скриншоте говорится, что после простых преобразований уравнение обретает новый вид. Вот я не могу понять, какие это были преобразования? Что-то как не верчу слагаемые, все не то выходит.

@S_el · 08.07.2014, 19:01

Сообщение от SrgKord

Значит нет особого смысла в том, что в пособии знаки менялись? А последний коэффициент, f, он должен быть отрицательным?

Если сказано менять знаки,то лучше именно так и сделать.Но если есть время,попробуйте знаки не менять и сравнить результат.

Сообщение от SrgKord

На скриншоте говорится, что после простых преобразований уравнение обретает новый вид.

Похоже там опечатка, в правой части вместо -1 должно стоять -16.

Так какую задачу вам нужно решить на экзамене?Конечно-разностные уравнения линейно-краевой задачи методом прогонки?

@SrgKord · 08.07.2014, 19:16 **[ТС]**

Сообщение от S_el

Так какую задачу вам нужно решить на экзамене?

В числе прочих и эту тоже, да.

Я переделал решение, ведь у меня же по условию не задана производная первого порядка, как и функция, а есть только производная второго порядка. Сделал вот так, но как-то подозрительно там просто все выходит.

@S_el · 08.07.2014, 19:29

Сообщение от SrgKord

Сделал вот так, но как-то подозрительно там просто все выходит.

Все не так просто,у вас получается 3 уравнения и 5 неизвестных

@SrgKord · 12.07.2014, 22:44 **[ТС]**

S_el,
И как мне решить пять неизвестных уравнений?

@S_el · 13.07.2014, 13:30

SrgKord, дополнить систему исходя из краевых условий(как будет выглядеть система я писал ранее).
Хотя,вы правы в таком случае система будет не трех-диагональной и методом прогонки её не решить.Возможно,условия будут только на функцию,тогда все получается без проблем.

@SrgKord 49 / 31 / 2 Регистрация: 14.02.2013 Сообщений: 677
	07.07.2014, 21:05 [ТС]	23
	Смотрите, на первом скрине то, что получается у меня, а на втором пример из пособия. Мне кажется, у меня получилось не трехточечное разностное уравнение. И похоже, что не разностное. Вот видимо для этого и менялись там знаки, чтобы уравнение было разностным. Только не понятно правило, согласно которому задаются знаки. И трехдиагональная матрица коэффициентов у меня не получится, а скорее четырехдиагональная будет. Это нормально? Миниатюры 0

@SrgKord 49 / 31 / 2 Регистрация: 14.02.2013 Сообщений: 677
	08.07.2014, 15:05 [ТС]	26
	На скриншоте говорится, что после простых преобразований уравнение обретает новый вид. Вот я не могу понять, какие это были преобразования? Что-то как не верчу слагаемые, все не то выходит. Миниатюры 0

@S_el 2443 / 1841 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,237
	08.07.2014, 19:01	27
	Сообщение от SrgKord Значит нет особого смысла в том, что в пособии знаки менялись? А последний коэффициент, f, он должен быть отрицательным? Если сказано менять знаки,то лучше именно так и сделать.Но если есть время,попробуйте знаки не менять и сравнить результат. Сообщение от SrgKord На скриншоте говорится, что после простых преобразований уравнение обретает новый вид. Похоже там опечатка, в правой части вместо -1 должно стоять -16. Так какую задачу вам нужно решить на экзамене?Конечно-разностные уравнения линейно-краевой задачи методом прогонки? 0

@SrgKord 49 / 31 / 2 Регистрация: 14.02.2013 Сообщений: 677
	08.07.2014, 19:16 [ТС]	28
	Сообщение от S_el Так какую задачу вам нужно решить на экзамене? В числе прочих и эту тоже, да. Я переделал решение, ведь у меня же по условию не задана производная первого порядка, как и функция, а есть только производная второго порядка. Сделал вот так, но как-то подозрительно там просто все выходит. Миниатюры 0

@S_el 2443 / 1841 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,237
	13.07.2014, 13:30	31
	SrgKord, дополнить систему исходя из краевых условий(как будет выглядеть система я писал ранее). Хотя,вы правы в таком случае система будет не трех-диагональной и методом прогонки её не решить.Возможно,условия будут только на функцию,тогда все получается без проблем. 0

@SrgKord 49 / 31 / 2 Регистрация: 14.02.2013 Сообщений: 677
	07.07.2014, 18:12 [ТС]	21
	Тогда попробую сделать как есть. Может там и будет видно. Посмотрите, кстати, правильно ли я сделал. Миниатюры 0

@S_el 2443 / 1841 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,237
	07.07.2014, 18:25	22
	SrgKord, не совсем верно,если аппроксимировать центральной разностью,то точность будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O({h}^{2})$ . Кстати,погрешность,как слагаемое не учитывается. 0

@S_el 2443 / 1841 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,237
	07.07.2014, 22:08	24
	Сообщение от SrgKord Смотрите, на первом скрине то, что получается у меня, а на втором пример из пособия. В пособии первая производная аппроксимирована не центральной разностью с квадратичной точностью,а разностью вперед,с точностью h.Поэтому и отличается вид уравнений. Допустим у вас есть уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{k}{y}_{k+1}+{b}_{k}{y}_{k}+{c}_{k}{y}_{k-1}={f}_{k}$ коэффициенты a,b,c могут быть любыми(положительными/отрицательными). Имея начальное условие,можно постепенно выражать следующую точку через предыдущую(прямая прогонка),а затем раскрутить систему обратно,опираясь на граничное условие второго конца. P.S. Можете вообще не заморачиваться с прогонкой,а решать СЛАУ тем-же методом Гаусса. 0

@SrgKord 49 / 31 / 2 Регистрация: 14.02.2013 Сообщений: 677
	08.07.2014, 14:32 [ТС]	25
	Значит нет особого смысла в том, что в пособии знаки менялись? А последний коэффициент, f, он должен быть отрицательным? Сообщение от S_el Можете вообще не заморачиваться с прогонкой,а решать СЛАУ тем-же методом Гаусса У меня в экзамене будет решение методом прогонки. Добавлено через 9 часов 32 минуты А если я для первой производной беру одностороннюю левую разность, у которой погрешность O(h), а для второй производной беру центральную разность, у которой O(h^2), то какая должна быть записана погрешность в правой части уравнения, где F_i 0

@S_el 2443 / 1841 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,237
	08.07.2014, 19:29	29
	Сообщение от SrgKord Сделал вот так, но как-то подозрительно там просто все выходит. Все не так просто,у вас получается 3 уравнения и 5 неизвестных 0

@SrgKord 49 / 31 / 2 Регистрация: 14.02.2013 Сообщений: 677
	12.07.2014, 22:44 [ТС]	30
	S_el, И как мне решить пять неизвестных уравнений? 0

Опции темы