Метод простой итерации для решения нелинейной системы уравнений

@dicesmt · Регистрация: 23.09.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день, застрял на решении нелинейной системы методом простой итерации.

Имеется система:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text 1.5y-cos(x+2)=0 \\ & \text 2x+sin(y)=-0.8 \end{cases}$
Уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{1}(x,y)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{2}(x,y)$ cоответственно.

Требуется решить ее методом простой итерации.
Можно выразить из одного уравнения x, из другого y и находить следующие приближения по формуле:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}=\varphi ({x}_{k})$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{k+1}=\varphi ({y}_{k})$
таким способом решается легко и быстро, но нужно решить другим, используя параметр $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tau$ .
В одномерном случае f(x)=0 формула для такого решения имеет вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+ \tau*{f}({x}_{k})$ , где f(x)-искомая функция.
В многомерном случае, я думаю, формулы должны быть такие:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+ \tau*{f}_{1}({x}_{k},{y}_{k})$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{k+1}={y}_{k}+ \tau*{f}_{2}({x}_{k},{y}_{k})$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{1}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{2}$ - уравнения исходной системы. По этим формулам метод либо расходится, либо сходится очень долго, на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tau$ можно не обращать внимания, оно вычисляется довольно легко, в этом ошибки нет.
Прошу найти ошибки в формулах для многомерного случая.

@SSC · 20.10.2016, 15:48

Может Вы имеете ввиду следующую формулу
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+\tau *({f}_{1}({x}_{k},{y}_{k})-{x}_{k})$
для y аналогично.
При этом тау от 0 до 1, что повышает устойчивость сходимости.
Но конечно f1 и f2 это не уравнения исходной системы, это функции для определения заданной переменной, полученные из уравнений исходной системы.

@dicesmt · 20.10.2016, 16:59 **[ТС]**

SSC, спасибо за формулу, но тут, как Вы сказали, из исходной системы нужно выражать x и y. Мне же нужна формула, с помощью которой можно решить данную систему, не выражая x и y. Например, в формуле для одномерного случая, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+\tau *f({x}_{k})$ , выражать x из исходного уравнения не нужно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ в ней - исходное уравнение. Вот что-то подобное мне нужно и для системы f(x,y)=0, чтобы не выражать x и y.

@SSC · 21.10.2016, 08:23

Если Вы имеете ввиду метод Ньютона, тогда в одномерном случае тау=-1/f'(x) ( где f'(x) производная функции по х)
В этом случае для многомерного случая для определения тау в каждом уравнении берут частные производные функций по соответствующим переменным.

@dicesmt 1 / 1 / 2 Регистрация: 23.09.2016 Сообщений: 52
		1
	Метод простой итерации для решения нелинейной системы уравнений 18.10.2016, 22:34. Показов 1485. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Добрый день, застрял на решении нелинейной системы методом простой итерации. Имеется система: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \text 1.5y-cos(x+2)=0 \\ & \text 2x+sin(y)=-0.8 \end{cases}$ Уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{1}(x,y)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{2}(x,y)$ cоответственно. Требуется решить ее методом простой итерации. Можно выразить из одного уравнения x, из другого y и находить следующие приближения по формуле: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}=\varphi ({x}_{k})$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{k+1}=\varphi ({y}_{k})$ таким способом решается легко и быстро, но нужно решить другим, используя параметр $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tau$ . В одномерном случае f(x)=0 формула для такого решения имеет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+ \tau{f}({x}_{k})$ , где f(x)-искомая функция. В многомерном случае, я думаю, формулы должны быть такие: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+ \tau{f}_{1}({x}_{k},{y}_{k})$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{k+1}={y}_{k}+ \tau*{f}_{2}({x}_{k},{y}_{k})$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{1}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{2}$ - уравнения исходной системы. По этим формулам метод либо расходится, либо сходится очень долго, на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tau$ можно не обращать внимания, оно вычисляется довольно легко, в этом ошибки нет. Прошу найти ошибки в формулах для многомерного случая. 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	20.10.2016, 15:48	2
	Может Вы имеете ввиду следующую формулу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+\tau *({f}_{1}({x}_{k},{y}_{k})-{x}_{k})$ для y аналогично. При этом тау от 0 до 1, что повышает устойчивость сходимости. Но конечно f1 и f2 это не уравнения исходной системы, это функции для определения заданной переменной, полученные из уравнений исходной системы. 1

@dicesmt 1 / 1 / 2 Регистрация: 23.09.2016 Сообщений: 52
	20.10.2016, 16:59 [ТС]	3
	SSC, спасибо за формулу, но тут, как Вы сказали, из исходной системы нужно выражать x и y. Мне же нужна формула, с помощью которой можно решить данную систему, не выражая x и y. Например, в формуле для одномерного случая, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{k+1}={x}_{k}+\tau *f({x}_{k})$ , выражать x из исходного уравнения не нужно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ в ней - исходное уравнение. Вот что-то подобное мне нужно и для системы f(x,y)=0, чтобы не выражать x и y. 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	21.10.2016, 08:23	4
	Если Вы имеете ввиду метод Ньютона, тогда в одномерном случае тау=-1/f'(x) ( где f'(x) производная функции по х) В этом случае для многомерного случая для определения тау в каждом уравнении берут частные производные функций по соответствующим переменным. 1