Найти нижнюю границу

@йот · Регистрация: 08.09.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Дан числовой конечный ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
Найти нижнюю границу.
Решение
Проинтегрируем этот ряд в пределах от 1 до n
и получим
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n > ln(n)|ⁿ₁ = ln(n)
итак
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n > ln(n)
Откуда мы это взяли? Интеграл это площадь ограниченная
сверху гладкой кривой y = 1/n, а наша сумма это площадь
ступенчатой фигуры (ширина ступени = 1)

@woldemas · 19.09.2017, 18:44

И что? Это на первом курсе учат. Есть еще интегральный признак сходимости ряда.

@йот · 19.09.2017, 19:00 **[ТС]**

woldemas,
действительно есть интегральный признак сходимости ряда...
НО здесь вовсе не бесконечный ряд и ваш признак тут ни причем...

@jogano · 19.09.2017, 19:58

Сообщение от йот

Проинтегрируем этот ряд в пределах от 1 до n

Интегрировать можно непрерывную функцию (ну или кусочно-разрывную), а не ряд.

Сообщение от йот

Интеграл это площадь ограниченная
сверху гладкой кривой y = 1/n

Гладкая кривая это y=1/x, а не y=1/n. Вот её и интегрируем. Чтобы найти нижнюю границу, для абсцисс 1, 2, 3, ... , n нарисуем высоты от ОХ до графика 1/х, дальше рассматриваем ваш ряд как сумму площадей столбиков от i до i+1 по горизонтали и высотой 1/i в пределах по х от 1 до n. Так как для каждого участка x є [ i; i+1] график y=1/x лежит ниже верхней стороны столбика, то и площадь под графиком в указанных пределах будет меньше суммы площадей этих столбиков.
Нарисуйте график, а то отвечающим долго рисовать, выкладывать сюда...

@йот · 19.09.2017, 20:15 **[ТС]**

jogano,
Спасибо. Просто я не стал вводить переменную х, а ввел n
Иными словами n играет две функции.
1. n - как переменная
2. n - как целая постоянная и предел переменной "n"
...
лично мне понятно... а другим, видимо, не очень...
кто изучает математику и не тому еще научится...

@йот · 20.09.2017, 08:19 **[ТС]**

Вот рисунок к задаче

Байт · 20.09.2017, 08:36

Иьхо, если рассматривать множество сумм 1+.. 1/n, где n - любое положительное целое число, то нижняя граница этих сумм, очевидно, = 1

Тут что-то не так с начальной постановкой задачи...

@йот · 20.09.2017, 09:31 **[ТС]**

Уважаемый Байт,
я не буду напоминать вам, что нижних границ существует
бесконечное множество... ищется одна из них... та, которая
приведена в решении...
Конечно заголовок можно озвучить по другому...
типа: "Найти сумму ряда"... Если вы считаете это
более подходящим, то я не возражаю... НО в задаче
вовсе не искалась сумма ряда...

@eropegov · 20.09.2017, 09:41

Сообщение от йот

ищется одна из них... та, которая приведена в решении...

А с какой стати именно эта, если постановка задачи на это никак не указывает?

@йот · 20.09.2017, 13:18 **[ТС]**

Уважаемый eropegov,
постановка задачи и рисунок к ней однозначно указывают
на то, что хочет автор... Если у вас есть иное решение, то оно
будет с благодарностью принято.

Байт · 20.09.2017, 21:32

йот, вы знаете, у меня такое ощущение, что в голове у вас - каша. Это бывает с теми, кто пытается заниматься математикой. Тем не менее, искренне желаю вам эту кашу размешать большой ложкой логических рассуждений...

@йот · 21.09.2017, 08:06 **[ТС]**

Уважаемый Байт,
допустим я изложил задачу не очень логично, НО...
вы видели решение... вывод верный?

Байт · 21.09.2017, 09:02

йот, только включив все экстрасенсорные резервы своего организма, я понял о чем речь. Это - выдернутый из контекста фрагмент доказательства расходимости гармонического ряда

Сообщение от йот

вывод верный?

Вывод верный. И Эйлер с вами согласен
https://ru.wikipedia.org/wiki/... 1%8F%D0%B4
Но имейте в виду, что математика, это не только ловкое манипулирование формулами, но и умение четко и грамотно поставить задачу. Особенно, если вы привлекаете к этому делу других людей.
В вашем случае задача могла быть поставлена так:
"Доказать, что 1 +1/2 + ... + 1/n > ln n "
А всякие там "Нижние границы" можно пока оставить при себе.

@йот · 21.09.2017, 09:31 **[ТС]**

Байт,
СПАСИБО!!

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	20.09.2017, 13:18 [ТС]	10
	Уважаемый eropegov, постановка задачи и рисунок к ней однозначно указывают на то, что хочет автор... Если у вас есть иное решение, то оно будет с благодарностью принято. 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	20.09.2017, 21:32	11
	Сообщение было отмечено йот как решение Решение йот, вы знаете, у меня такое ощущение, что в голове у вас - каша. Это бывает с теми, кто пытается заниматься математикой. Тем не менее, искренне желаю вам эту кашу размешать большой ложкой логических рассуждений... 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	21.09.2017, 08:06 [ТС]	12
	Уважаемый Байт, допустим я изложил задачу не очень логично, НО... вы видели решение... вывод верный? 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	21.09.2017, 09:31 [ТС]	14
	Байт, СПАСИБО!! 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
		1
	Найти нижнюю границу 19.09.2017, 16:47. Показов 1659. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Дан числовой конечный ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n Найти нижнюю границу. Решение Проинтегрируем этот ряд в пределах от 1 до n и получим 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n > ln(n)\|ⁿ₁ = ln(n) итак 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n > ln(n) Откуда мы это взяли? Интеграл это площадь ограниченная сверху гладкой кривой y = 1/n, а наша сумма это площадь ступенчатой фигуры (ширина ступени = 1) 0

@woldemas 672 / 475 / 215 Регистрация: 06.09.2013 Сообщений: 1,306
	19.09.2017, 18:44	2
	И что? Это на первом курсе учат. Есть еще интегральный признак сходимости ряда. 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	19.09.2017, 19:00 [ТС]	3
	woldemas, действительно есть интегральный признак сходимости ряда... НО здесь вовсе не бесконечный ряд и ваш признак тут ни причем... 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	19.09.2017, 19:58	4
	Сообщение было отмечено йот как решение Решение Сообщение от йот Проинтегрируем этот ряд в пределах от 1 до n Интегрировать можно непрерывную функцию (ну или кусочно-разрывную), а не ряд. Сообщение от йот Интеграл это площадь ограниченная сверху гладкой кривой y = 1/n Гладкая кривая это y=1/x, а не y=1/n. Вот её и интегрируем. Чтобы найти нижнюю границу, для абсцисс 1, 2, 3, ... , n нарисуем высоты от ОХ до графика 1/х, дальше рассматриваем ваш ряд как сумму площадей столбиков от i до i+1 по горизонтали и высотой 1/i в пределах по х от 1 до n. Так как для каждого участка x є [ i; i+1] график y=1/x лежит ниже верхней стороны столбика, то и площадь под графиком в указанных пределах будет меньше суммы площадей этих столбиков. Нарисуйте график, а то отвечающим долго рисовать, выкладывать сюда... 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	19.09.2017, 20:15 [ТС]	5
	jogano, Спасибо. Просто я не стал вводить переменную х, а ввел n Иными словами n играет две функции. 1. n - как переменная 2. n - как целая постоянная и предел переменной "n" ... лично мне понятно... а другим, видимо, не очень... кто изучает математику и не тому еще научится... 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	20.09.2017, 08:19 [ТС]	6
	Вот рисунок к задаче Миниатюры 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	20.09.2017, 08:36	7
	Иьхо, если рассматривать множество сумм 1+.. 1/n, где n - любое положительное целое число, то нижняя граница этих сумм, очевидно, = 1 Тут что-то не так с начальной постановкой задачи... 1

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	20.09.2017, 09:31 [ТС]	8
	Уважаемый Байт, я не буду напоминать вам, что нижних границ существует бесконечное множество... ищется одна из них... та, которая приведена в решении... Конечно заголовок можно озвучить по другому... типа: "Найти сумму ряда"... Если вы считаете это более подходящим, то я не возражаю... НО в задаче вовсе не искалась сумма ряда... 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	20.09.2017, 09:41	9
	Сообщение от йот ищется одна из них... та, которая приведена в решении... А с какой стати именно эта, если постановка задачи на это никак не указывает? 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	21.09.2017, 09:02	13
	Сообщение было отмечено йот как решение Решение йот, только включив все экстрасенсорные резервы своего организма, я понял о чем речь. Это - выдернутый из контекста фрагмент доказательства расходимости гармонического ряда Сообщение от йот вывод верный? Вывод верный. И Эйлер с вами согласен https://ru.wikipedia.org/wiki/... 1%8F%D0%B4 Но имейте в виду, что математика, это не только ловкое манипулирование формулами, но и умение четко и грамотно поставить задачу. Особенно, если вы привлекаете к этому делу других людей. В вашем случае задача могла быть поставлена так: "Доказать, что 1 +1/2 + ... + 1/n > ln n " А всякие там "Нижние границы" можно пока оставить при себе. 1