@DPribytok

Добрый день!

И всё-таки жизнь столкнула с математикой - экспериментируя с алгоритмами фильтрации изображений, в одной из статей наткнулся на следующую задачу:



,где:

I(x,y) - известная скалярная функция,
J(x,y) - неизвестная скалярная функция,

что касается коэффициентов k1, k2, то, честно сказать, не понял, можно ли их как-то определить или же они должны быть заданы.

Область определения функций представляет собой прямоугольник:


В связи с тем, что учась в университете так и не сложилось познать величие методов оптимизации, теперь вот остается надеяться на Вашу помощь

0

@mathmichel

По опыту могу сказать, что эти коэффициенты - эмпирические, подбираются для конкретной задачи. Как правило, они меньше единицы. Ну, если Вы наткнулись на эту статью и в ней нет нужных подробностей, то смотрите ссылки в ней. Советую ещё искать просто по авторам статьи и ссылок.

0

@DPribytok

Спасибо за ответ !

Проблема заключается ещё и в том, что это не была научная статья, а, скорее, краткий обзор, поэтому ссылок на соответствующую литературу там нет.

Написано только, что "Таким образом получаем хорошо известную систему уравнений, называемой уравнением Пуассона". Странно также, что пишут "система уравнений", а затем - "уравнение Пуассона", т.е. всё-таки система или одно уравнение?! .

Хорошо, по поводу коэффициентов предположим, что они заданы. Вопрос в том, как получить из данной постановки задачи дифф. уравнение или систему уравнений ?

Добавлено через 3 часа 35 минут
Вроде бы кое-что удалось сделать, но до конца не уверен:

Нашел нормальный материал по вариационному исчислению http://www.phys.spbu.ru/conten... in/var.pdf

Вот что там написано по поводу экстремали двойного интеграла:
Если есть двойной интеграл



и целью является найти такую z(x,y), которая "доставляет экстремальное значение", тогда получаем следующее дифф. ур-ие:



В нашем же случае получается, что




после подстановки получим



а это уже можно решать численными методами!

Только вот это не уравнение Пуассона
Может быть всё-таки как-то по-другому надо это делать ?

0

@eropegov

DPribytok, а вот у вас в постановке задачи стоит суммирование по x,y. Это суммирование по узлам какой-то сетки?

0

@DPribytok

Так как задача решается применительно к изображению, то получается что да, у нас есть сетка пикселей. Но, как мне кажется, для вывода уравнений, можно предположить, что область определения является непрерывной и заменить сумму на интегралы.

0

@eropegov

DPribytok, да, так оно, наверное, и проще будет, если функция хорошая.

0

@DPribytok

Остаётся проверить теорию на практике
Как получу результат, напишу, действительно ли это работает.
Но всё-таки меня волнует то, что есть некоторые расхождения относительно той статьи, где я прочитал о проблеме.

0

@eropegov

DPribytok, кстати, у вас получилось уравнение Гельмгольца.

0

@DPribytok

eropegov, Спасибо за ссылку

Пока что не удалось получить желаемый результат.
Хотел спросить, есть ли альтернативный вариант решения данной задачи? В том смысле, что я её свёл к дифф. уравнению, но если учесть, что изначально мы имеем дело с конечным набором точек x,y, может быть есть какой-то другой способ решать проблему?

0

@eropegov

DPribytok, способов всегда много, но здесь я не специалист. Но мне кажется, что, во-1, переход к вариационной задаче с интегралом здесь сам просится, и во-2, мне сдается, что для уравнения Гельмгольца есть готовые численные разработки (оно ж классическое), их только найти надо.

0