@KELWIN

Помогите решить задачу.
1. Постановка задачи [1,2]. Рассмотрим динамику популяции
двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищникжертва,
при наличии внутривидовой конкуренции жертв за ограниченные
ресурсы и учете фактора нелинейности размножения жертв
при малых плотностях популяции. Обозначим через x = x(t) и
y = y(t) плотности популяций жертв и хищников в момент времени
t. Уравнения имеют следующий вид:
x
′ =
ax2
N + x
K − x
K
− bxy,
y
′ = −cy + d xy,
(1)
где a, b, c, d, N, K — неотрицательные числа. Структура уравнений
следующая
• Величина ax2/(N +x)(K −x)/K определяет скорость размножения
жертв в отсутствии хищников. При малых x скорость определяется
величиной ax/N и является малой (гиперболический
закон). При больших плотностях (до величины K) популяция
растет, при x > K — уменьшается в размерах (скорость отрицательна).
Таким образом, это слагаемое описывает ограниченность
ресурсов: окружающая среда может обеспечивать существование
только популяции плотности меньшей K.
• Слагаемое bxy описывает влияние хищников на популяцию
жертв. Функция bx характеризует количество жертв, убиваемых
одним хищником в единицу времени (реакция хищника на плотность
популяции жертвы). Как видим, в данной модели хищники
чрезвычайно кровожадны.
• Второе уравнение определяет изменение популяции хищников.
Постоянная c определяется естественной нормой смертности
хищников. Второе слагаемое (функция d x) характеризует прирост
хищников в зависимости от плотности жертв (в данной модели
хищники еще к тому же и чрезвычайно плодовиты).
42 Модель Базыкина
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные величины
X = x/K, Y = (
b
a
)
y, τ = at, n =
N
K
, m =
c
dK , γ =
dK
a
,
преобразуем уравнения (1) к виду
X′ =
(1 − X)X2
n + X
− XY,
Y
′ = γ(X − m)Y,
(2)
и дополним их начальными условиями
X(0) = X0, Y (0) = Y0. (3)
Задание
1. Напишите программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′ = f(t, y), y(0) = y0, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге – Кутты 4-го
порядка точности с постоянным шагом h:
k1 = f(tn, yn),
k2 = f(tn + h/4, yn + h/4k1),
k3 = f(tn + h/2, yn + h/2k2),
k4 = f(tn + h, yn + hk1 − 2hk2 + 2hk3),
yn+1 = yn + h(k1 + 4k3 + k4)/6.
2. Протестируйте программу на примере системы уравнений
y
′
1 = −αy1 − βy2 + (α + β − 1)e
−t
,
y
′
2 = βy1 − αy2 + (α + β − 1)e
−t
,
на отрезке [0, 4] с точным решением (проверьте!)
y1 = y2 = e
−t
, α = 2, β = 3.
3. Для тестовой задачи постройте графики зависимости максимальной
погрешности решения e и e/h4
от выбранного шага h. Поясните
Модель Базыкина 43
результаты вычислений.
4. Найдите стационарные решения (состояния равновесия) системы
(2). Как они зависят от параметров задачи?
5. Для ряда значений параметра m из интервала [0.1, 0.35] решить
систему уравнений (2), (3) при помощи разработанной программы.
Расcчитать динамику популяции при следующих исходных данных
n = 0.1, γ = 1, X0 = 0.3, Y0 = 0.3.
При каких значениях параметра m в системе появляются и исчезают
автоколебания? Постройте графики наиболее характерных решений
в координатах (X, Y ), (X(t), t) и (Y (t), t) и дайте их интерпретацию.

Вернуться к обсуждению:
Система типа хищник-жертва. Модель Базыкина C++

0