Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Статистика, теория вероятностей
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг: Рейтинг темы: голосов - 76, средняя оценка - 4.91
zer0mail
2451 / 2085 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,566
Записей в блоге: 1
#1

О распределении Пуассона - Теория вероятностей

02.12.2013, 01:13. Просмотров 14047. Ответов 10
Метки йй (Все метки)

Рассмотрим историческую задачу (которую решал сам Пуассон): на коммутатор поступают звонки от абонентов. Считаем, что абоненты звонят независимо друг от друга и более-менее равномерно.
Математически это запишем так: вероятность поступление звонка в момент от t до t+dt (малый интервал, в пределе - бесконечно малый) равна dt/T.
Замечу, что dt мало по сравнению с T. Т.е если в среднем за час поступает один звонок, то за минуту 1/60. Но если брать интервал сравнимый с T (или больше), формула, естественно, работать не будет (эта формула дифференциальная, т.е. для бесконечно малого интервала). Например, есть ненулевая вероятность, что за t=2T не поступит ни одного звонка, а за 0.5T поступило 2 (или 3 или 10)...

http://www.cyberforum.ru/statistics/thread1357861.html
Посчитаем вероятность, что от x=0 до t не будет звонков: P(t+dt)=P(t)·(1-dt/T).
Решая это уравнение, получаем, что http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(t)=e^{\frac{-t}{T}}.
Теперь посчитаем среднее время ожидания первого звонка. Вероятность, что до момента t звонка не было, а в интервале t+dt он пришел, равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(t)=e^{\frac{-t}{T}}\frac{dt}{T}. Умножая эту вероятность на интервал t и беря интеграл, получим среднее время ожидания:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_0^\infty t \cdot  e^{\frac{-t}{T}}\frac{dt}{T}=T.
Оказывается, что параметр T - это среднее время ожидания события (звонка).

Важно: особенностью распределения Пуассона является то, что среднее время ожидания очередного события не зависит от того, когда наступило предыдущее событие, т.е. как скоро после предыдущего события мы начали ждать . Если автобусы ходят "по Пуассону" в среднем через 5 минут, то нам придется ждать в среднем 5 минут, даже если мы пришли на остановку через секунду/10 минут после предыдущего автобуса.

Можно в качестве параметра использовать не T, а обратную величину http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda=\frac{1}{T} и тогда вероятность наступления события равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambd \cdot  dt.
Если T- характеризует ожидание события (раcстояние между ними), то http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda характеризует интенсивность потока событий, т.е. сколько событий происходит в единицу времени.

Теперь зайдем с другого боку и зададим вопрос: если за малый интервал dt может произойти только одно событие (с вероятностью, пропорциональной длине интервала), то сколько событий может произойти за единичный интервал? Для подсчета количества успехов есть мощная формула Бернулли: вероятность k успехов в серии n испытаний (с вероятность успеха p) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n,k,p)=C(n,k) \cdot  p^k \cdot (1-p)^{n-k}, где C(n,k) - биномиальные коэффициенты.
Разобьем наш интервал на n маленьких интервалов. Вероятность успеха (т.е поступления звонка в маленьком интервале) равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda \cdot  \frac{1}{n}. Значит, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(n,k,p)=\frac{n!}{k! \cdot  (n-k!)} \cdot  (\lambda/n)^k \cdot  (1-\lambda/n)^{n-k} и переходя к пределу при больших n, получаем: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot  e^{-\lambda. При больших n раздельная зависимость от n,p исчезла, осталась только зависимость от http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n \cdot  p=\lambda. Это и есть формула Пуассона для подсчета вероятности количества наступивших событий в единичном интервале.

А сейчас подсчитаем среднее количество событий в единичном интервале, это сумма
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=0}^\infty k \cdot  P(k,\lambda)=\lambda.
Теперь мы видим, что параметр распределения Пуассона http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda - это среднее количество звонков в единичном интервале. Давайте вообще отцепимся от единичного интервала! . Если за некий интервал происходит в среднем http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda событий, то вероятность, что за этот интервал происходит k событий равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot  e^{-\lambda.

А если мы знаем, что в среднем за час происходит http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_h звонков, то какова вероятность получения ровно 1 звонка в течении минуты? По формуле Пуассона эта вероятность равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\lambda_m} \cdot  e^{-\lambda_m}. Как перейти от "часовой лямбда" к "минутной лямбда"? Очень просто: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda_m=\lambda_h/60

Можно вообще отвязаться от интервала. Пример: в большой чан с тестом высыпают пакет с изюмом, перемешивают и выпекают булочки стандартного размера. Мы знаем, что из теста в чане получается N булочек, а в пакете K изюминок (плюс-минус) . В среднем в булочке получается K/N изюминок. Это и есть лямбда нашего распределения и мы можем посчитать вероятности, что в булочке будет 0,1,k изюминок. Действительно, можно предположить, что изюминки попадают в булочку независимо, а перемешивание распределяет их по чану более-менее равномерно. А распределению Пуассона только этого и надо

При получении формулы Пуассона мы вычислили ее через предел формулы Бернулли, когда событий много, но произведение вероятности на количество испытаний конечно (равно лямбда). Можно сделать и обратный переход - когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала, то вместо формулы Бернулли можно использовать формулу Пуассона (с лямбда=n·p). При этом, естественно, надо понимать - когда это можно делать, а когда - нельзя .

Итак, распределение Пуассона характеризуется лямбда - средним количеством событий (или средним количеством событий в интервале) и обратным к нему параметром Т - средним временем ожидания очередного события. Формула Пуассона вычисляет вероятность, что произойдет ровно k событий (k целое), при условии, что в среднем происходит http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda событий (не обязательно целое).
4
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
02.12.2013, 01:13
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос О распределении Пуассона (Теория вероятностей):

О нормальном распределении
В задачах по теории вероятностей часто появляется нормальное распределение....

Критерий Пирсона. Проверка гипотезы о равномерном распределении
как функция в exele Называется ?? для равномерного распределения

Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности
Дана выборка: 2,95 3,88 5,53 5,42 4,41 4,31 5,15 2,45 5,23 4,11...

Хитрое задание на поиск условной вероятности в многомерном распределении
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей. ...

Отсеивание ряда от некорректных значений при ненормальном распределении
Доброго времени суток. Предположим, есть два ряда значений: 1: 25, 26, 25...

10
myn
817 / 667 / 99
Регистрация: 11.11.2012
Сообщений: 1,752
02.12.2013, 03:41 #2
Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
Рассмотрим историческую задачу (которую решал сам Пуассон): на коммутатор поступают звонки от абонентов.
это просто в мемориз!
А так классно придумали - надо какие-то базовые темы дать постепенно так развернуто... Только я бы заменила в формулах * на точки - * все-таки свертку обычно обозначает в математике... (не умножение, это Excel)/

и можно примеры добавить - двоечников посылать читать вместо учебника
3
240Volt
4433 / 2437 / 227
Регистрация: 20.08.2011
Сообщений: 3,107
02.12.2013, 21:54 #3
Цитата Сообщение от myn Посмотреть сообщение
я бы заменила в формулах * на точки
Если ТС не будет возражать, я мог бы это сделать (или заменить исходное сообщение на отредактированное автором).
0
zer0mail
2451 / 2085 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,566
Записей в блоге: 1
02.12.2013, 21:55  [ТС] #4
Не буду, естественно.
0
Psilon
Master of Orion
Эксперт .NET
5981 / 4834 / 901
Регистрация: 10.07.2011
Сообщений: 14,439
Записей в блоге: 5
Завершенные тесты: 4
14.01.2014, 19:16 #5
переходя к пределу при больших n
не просто при больших n, а при n-> inf, при этом одновременно вероятности pi -> 0. А то если у нас есть миллион событий, но при этом вероятность первого 90%, то мы не можем переходить к Пуассону афайк.
0
rahim
612 / 276 / 9
Регистрация: 22.01.2013
Сообщений: 866
16.01.2014, 02:04 #6
А вы текст первого сообщения-то читали? Там нет и не должно быть никаких http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_i, а все, что нужно, уже и так стремится куда нужно.
0
Psilon
Master of Orion
Эксперт .NET
5981 / 4834 / 901
Регистрация: 10.07.2011
Сообщений: 14,439
Записей в блоге: 5
Завершенные тесты: 4
16.01.2014, 07:01 #7
rahim, да даже википедия это знает.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Bin(n, \frac{\lambda }{n}) \approx P(\lambda)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow inf} \frac{\lambda }{n} = 0
то есть в пределе вероятность каждого события равна 0. Но это выполняется только при фиксированной константе http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda
0
zer0mail
2451 / 2085 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,566
Записей в блоге: 1
16.01.2014, 20:48  [ТС] #8
Естественно, она фиксирована. Следуйте совету и читайте первое сообщение . И название темы посмотрите внимательно
0
Psilon
Master of Orion
Эксперт .NET
5981 / 4834 / 901
Регистрация: 10.07.2011
Сообщений: 14,439
Записей в блоге: 5
Завершенные тесты: 4
16.01.2014, 22:00 #9
zer0mail, не естественно. Я сколько с твимсом и прочим довольно плотно общался (и общаюсь), иесли рассматривать предельный случай, то все совсем не так, как в не-предельном. Например, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?K(\tau)={a}^{2}{e}^{-2\mu|\tau|} (наверное, знаете эту формулу). Так вот, в обычном варианте эта функция не имеет никаких особенностей, а в предельном является http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\delta-функцией, что для алгебраической функции довольно необычно.

Ну в общем весь смысл заключается в слове "естественно". Я привык к четко заданным определниям, т.к. при работе в бесконечномерных вероятностных пространствах со своими понятиями (чего стоит только предел в среднеквадратическом смысле l.i.m ), приучаешься уделять внимание подобным мелочам.

Добавлено через 1 минуту
Кстати, эта формула тоже получена из распределения Пуассона. Забавно совпало.
0
zer0mail
2451 / 2085 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,566
Записей в блоге: 1
16.01.2014, 23:28  [ТС] #10
Да разуйте глазки - вот так: . Это тема не математичское исследование, не учебник, не монография. Цель ее создания - дать возможность студентам лучше понять основы ТВ, в частности распределение Пуассона и решать задачи (причем самые простые), где оно изначально присутствует в условии или более-менее естественно возникает как математическая модель. Не надо искать/создавать сложности там, где они не нужны

Хотите показать глубину своих математических познаний? Так создавайте свою тему и резвитесь на здоровье

Цитата Сообщение от Psilon Посмотреть сообщение
не просто при больших n, а при n-> inf, при этом одновременно вероятности pi -> 0. А то если у нас есть миллион событий, но при этом вероятность первого 90%, то мы не можем переходить к Пуассону афайк.
И не надо, не переходите. Эта тема о распределении Пуассона (а не о различных предельных случаях), в котором есть "нормальное" лямбда (пояснение: оно ни бесконечно большое, ни бесконечно малое и никуда не стремящееся). .
2
zer0mail
2451 / 2085 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,566
Записей в блоге: 1
27.04.2014, 12:17  [ТС] #11
Дополнение к исходному сообщению:
Вернемся к ряду http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}. Его k-й член (http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=0..\infty) - вероятность, что произойдет ровно k событий. А теперь рассмотрим некий вспомогательный ряд http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R(k,\lambda)=\sum\frac{\lambda^k}{k!} =e^\lambda. Продиффренуцируем его левую и правые части по http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda, а потом умножим результат на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda\cdot e^{-\lambda}: \sum k*\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} =\lambda e^\lambda\cdot e^{-\lambda}=\lambda . Сравнивая с рядом P, понимаем, что слева - математическое ожидание количества успехов для распределения пуассона и оно равно http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda (d первом сообщении эта формула приведена без вывода).
Теперь снова возьмем ряд R и продифференцируем обе части по http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda, затем умножим их на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum k\cdot\frac{\lambda^k}{k!}e^{\lambda} =\lambda e^\lambda. Еще раз продифференцируем по http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda и умножим на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda e^{-\lambda}: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{\lambda}\cdot e^{-\lambda} =\lambda e^\lambda \cdot e^{-\lambda}+\lambda^2 e^\lambda \cdot e^{-\lambda}=\lambda +\lambda^2. Отнимем от обеих частей квадрат математического ожидания http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda^2и получим, что для распределения пуассона дисперсия =http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda. Этот результат можно было получить иначе, через биномиальное распределение, дисперсия которого http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?npq. При http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?np=\lambda, q\rightarrow1 биномиальное стремится к распределению пуассона, а его дисперсия стремится к http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda.

Другие параметры распределения Пуассона можно посмотреть здесь:ВикипедиЯ, Распределение Пуассона

Для тех, кто забыл: среднеквадратичное отклонение http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma- это корень из дисперсии, т.е. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{\lambda}
0
27.04.2014, 12:17
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
27.04.2014, 12:17
Привет! Вот еще темы с решениями:

Определить математическое ожидание и дисперсию при равномерном распределении.
Случайная величина Х подчинена равномерному закону распределения вероятностей в...

Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий Пирсона)
Задача на критерий Пирсона. Определите Х2 (Хи квадрат), при гипотезе о...

Распределение Пуассона
Найти P{\left( \right)\left|\xi -M\xi \right|<3\sqrt{D\xi }} Если \xi имеет...

Распределение Пуассона
Ребят помогите пожалуйста, что-то не понимаю данное распределение. В...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
11
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru