Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Статистика, теория вероятностей
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 5.00/5: Рейтинг темы: голосов - 5, средняя оценка - 5.00
BarsikBarbos
0 / 0 / 0
Регистрация: 12.04.2018
Сообщений: 2
1

Вероятность какого события больше: определитель матрицы будет чётным, или определитель матрицы будет нечётным

12.04.2018, 00:48. Просмотров 964. Ответов 23
Метки нет (Все метки)

Составим квадратную матрицу размера 42 × 42 из случайных целых чисел от 1 до 6
(т.е. для каждого элемента матрицы мы кидаем кубик(случайное число от 1 до 6) и записываем выпавшее
число). Вероятность какого события выше: определитель матрицы будет чётным, или
определитель матрицы будет нечётным?
0
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
12.04.2018, 00:48
Ответы с готовыми решениями:

Найти определитель матрицы
xx x 1 yy y 1 zz z 1 У меня получается так,...

Не могу найти определитель для матрицы!
B= 1 -2 1 3 -4 1 2 -5 3 помогите пожалуйста:) нужно помочь...

Найти вероятность того, что произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух
3) Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает...

Какова вероятность события , если будет произведено 5 независимых испытаний
Событие появится, если событие наступит не менее четырех раз. Какова...

Какова вероятность что число будет больше 3?
Помогите решить задачу. Есть 5 поочередно сгенерированых числа от 0 до 6. В 1-м...

23
palva
3102 / 2233 / 451
Регистрация: 08.06.2007
Сообщений: 8,135
Записей в блоге: 4
12.04.2018, 22:23 2
Сначала рассмотрим отдельные слагаемые определителя, они состоят из 42 множителей. Слагаемое нечетно, если каждый множитель нечетен, следовательно, вероятность того, что слагаемое нечетно равно p=(1/2)^42. Четность определителя зависит от четности слагаемых по следующему закону: он нечетен если и только если число нечетных слагаемых нечетно. То есть, его вероятность равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{42}C_{42}^ip^i(1-p)^{42-i}, где слагаемые в сумме берутся только с нечетными индексами i. Слагаемые с четными индексами в сумме дают вероятность, что определитель будет четным. Осталось показать, что слагаемые в сумме убывают (слагаемое отличается от предыдущего множителем меньше единицы). И у нас получится, что вероятность того, что определитель четный больше, чем того, что определитель нечетный.

Так, ошибся, конечно. Число слагаемых не 42, а 42! Оценка множителя получается неверной, и ответ, возможно, тоже.

Добавлено через 15 минут
Получается такая сумма http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=0}^{42!}C_{42!}^ip^i(1-p)^{42!-i} (поправил еще нижний предел). И оталось понять что в этой сумме больше сумма слагаемых с четными индексами или с нечетными.

Добавлено через 12 часов 17 минут
Еще подумал, и вижу теперь, что с самого начала мои рассуждения были ущербными. Четность разных слагаемых не являются независимыми событиями и их нельзя подсчитывать по формуле Бернулли. Нужен другой подход.
1
SSC
Эксперт по математике/физике
2668 / 1403 / 410
Регистрация: 09.04.2015
Сообщений: 3,853
13.04.2018, 07:33 3
При численном моделировании в MATLAB на миллионе итераций получается
Рчетных=0.123675 Рнечетных=0.876325
то есть нечетных явно больше
2
zer0mail
2454 / 2090 / 217
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
13.04.2018, 21:05 4
Интересно, если смоделировать 4x4, нечетных тоже больше?
0
Байт
Эксперт C
18979 / 12188 / 2546
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 24,867
14.04.2018, 10:53 5
Имхо, для упрощения задачи можно рассматривать заполнение матрицы единицами и нулями.
Однако, у нас в деревне спать ложатся очень рано. Если приснится что-нибудь толковое, обязательно поделюсь с вами...

Добавлено через 7 минут
Пока не заснул.... Вообще все можно считать в поле Z2 Но никаких выводов из этого пока сделать не удается...

Добавлено через 12 часов 54 минуты
Увы! Ничего шибко толкового выспать не удалось... Разве что некоторые очень грубые ограничения снизу для количества определителей =1 и =0 (все по модулю 2)
Например N(d=1) > 2n2-n, что дает p(d=1) > 1/2n
N(d=0) > 2n2-n, что дает p(d=0) > 1/2n
Но ощущение такое, что у задачи существует простое и красивое решение И, конечно, оно должно быть несколько нестандартным
Может даже сыграть роль то, что число 42 лежит между двумя простыми числами.
Кстати для n=2 .количество нулевых - 10, единичных - 6
Вообще почему-то кажется, что нулевых определителей должно быть больше. Но это "казание" ничем не подтверждено и опровергается моделированием уважаемого SSC, хотя и не навярняка.
0
zer0mail
2454 / 2090 / 217
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
14.04.2018, 13:38 6
Насчет 42. Если бы прочитать меньшие четные рамерности, то... Я тоже думал над матрицами из 0/1 и даже пытался доказать, что одинаково, но не получилось.
0
iifat
2365 / 1516 / 133
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,205
14.04.2018, 13:42 7
Да уж. Думал попробовать в сторону векторов и линейных зависимостей/независимостей... Пока ни до чего так и не додумался.
1
zer0mail
2454 / 2090 / 217
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
14.04.2018, 13:57 8
Мда, непростая задачка. Только главная проблема тут не в ТВ.
0
Байт
Эксперт C
18979 / 12188 / 2546
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 24,867
14.04.2018, 21:53 9
Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
Только главная проблема тут не в ТВ.
Ну конечно! Чистая Комбинаторика. Чтобы попасть в раздел, надо просто все результаты разделить на 2n2
Но Комбинаторика с Тервекой - сестрички настолько родные, что местами уже и сиамские...

Добавлено через 7 минут
Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
Я тоже думал над матрицами из 0/1 и даже пытался доказать, что одинаково, но не получилось.
Что именно? Что задачу можно представить по модулю 2? (спроецировать, так сказать) Но имхо, это настолько очевидно... Нам же ответ требуется именно по модулю 2. Значит и все вычисления можно производить по этому модулю.
Или вы видите здесь какие-то подводные камни?
0
iifat
2365 / 1516 / 133
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,205
15.04.2018, 04:13 10
Естественно. Мне тоже казалось, что должно быть одинаково. Пытался найти отображение нулевых в ненулевые. Не преуспел
Пробовал ещё посчитать количество различных базисов размерности http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq r\lt42 — аналогично.
1
zer0mail
2454 / 2090 / 217
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
16.04.2018, 00:09 11
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
Что именно? Что задачу можно представить по модулю 2?
По модулю 2 было сразу очевидно. Неочевидно, что нечетных больше.

Добавлено через 4 часа 20 минут
Смоделировал на Maple. Получилось, что нечетных ~29%, т.е. меньше!
0
iifat
2365 / 1516 / 133
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,205
18.04.2018, 03:17 12
Лучший ответ Сообщение было отмечено zer0mail как решение

Решение

И всё-таки — базисы!
Вот у нас http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-мерное линейное пространство векторов по модулю 2, то бишь, состоящих из 0 и 1. Начинаем с пустого набора линейно независимых векторов. Он определяет линейное подпространство, состоящее из одного нулевого вектора.
Шаг: если мы выбрали http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r линейно-независимых векторов, они определяют линейное подпространство из http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^r векторов, стало быть, ещё один надо выбрать из http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^n-2^r. Перемножаем, получаем
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M_n=\prod_{r=0}^{n-1}(2^n-2^r)
Можно вынести из всех скобок http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^n, чуток перенумеровать получим
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M_n=2^{n^2}\prod_{r=1}^{n}(1-\frac1{2^r})
То бишь, отвечая на исходный вопрос, вероятнее чётный определитель.
2
Байт
Эксперт C
18979 / 12188 / 2546
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 24,867
18.04.2018, 11:27 13
iifat, ваши построения вполне согласуются с простейшим случаем n = 2
(22-20)(22-21) = 3*2 = 6
И вообще все очень похоже на правду.
Но интересно, откуда взялись результаты моделирования постов 3 и 11 ? На случайность это не похоже. Значит, либо ошибочны модели, либо в ваших рассуждениях есть червоточинка. Однако, я ее не вижу...
0
iifat
2365 / 1516 / 133
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,205
18.04.2018, 14:25 14
А вот и не подерёмся!
У zer0mail получилось 29%, у меня http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-\frac12)(1-\frac14)=0.375, откидываем осьмушку, а это почти 0,047, получаем где-то 33%. Дальше умножать лень, но разница, имхо, не так уж и велика.
И вот нас уже двое на SSC, но в его результат — это ж почти 90%! — мне как-то не верится. Впрочем, подождём, может, он чего добавит.
1
SSC
Эксперт по математике/физике
2668 / 1403 / 410
Регистрация: 09.04.2015
Сообщений: 3,853
18.04.2018, 15:01 15
Уважаемые пользователи, простите за ошибку в сообщении от 13.04
Проводил отладку программы на определителе 6х6, и по ошибке не увидел и заменил в конце на размер 42х42.
(Наверное это эффект пятницы 13).
Сегодня попробовал построить график зависимости вероятности нечетности значения определителя от размера,
и обнаружил ошибку. В тоже время прямой подход к прогонке по данной программе дал график представленный на
первом рисунке. На графике наблюдается резкий спад от размера 20х20, что довольно странно.
Анализ проблемы показал, что при размере определителя 17х17 уже нначинаются проблемы с точностью по величине определителя.
Максимальные и минимальные величины становятся по величине больше чем 15 знаков мантиссы и переменные тиа double начинают терять последние
знаки, что ведет к неправильности определения нечетности числа, добавленные нули на конце резко уверичивают число четных значений.
Попытался воспользоваться идеей Байта, о моделировании опрелелителей из чисел 0/1.
Однако и в данном случае от проблем прямого моделирования уйти не удается.
Проблемы по точности величины определителя начинаются с размерности 29х29, но еще носят единичный характер.
Значительные проблемы возникают при размерности 37х37.
Сейчас пытаюсь использовать символьные вычисления, но расчеты идут медленно, завтра с утра запущу.
По предварительной отладке получается что четных больше
1
zer0mail
2454 / 2090 / 217
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
18.04.2018, 15:09 16
Я моделироввал при разных n, очень быстро выходит на 28-29% и дальше стабилизируется.
1= 49
2= 36
3= 33
4= 30
5= 29
6= 29
7= 29
8= 29
9= 27
10= 29

А нестрогие рассуждения и предположения (типа разложение по первой строке и предположение, что вероятность всех миноров быть 1(mod2) равна p) приводят к p=0.5. А это явно не 0.28-0.29...

SSC, не надо проблем с точностью, считайте все по модулю 2 (значения элементов матрицы - тоже )
1
iifat
2365 / 1516 / 133
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,205
18.04.2018, 15:56 17
Лучший ответ Сообщение было отмечено zer0mail как решение

Решение

Цитата Сообщение от zer0mail Посмотреть сообщение
1= 49
Вот это меня удивляет. Казалось бы, матриц среди 1х1 из нулей и единиц должно быть поровну нулевых и единичных. Мы чего-то не знаем о группе http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Z_2?

Добавлено через 15 минут
Цитата Сообщение от SSC Посмотреть сообщение
Проблемы по точности величины определителя начинаются с размерности 29х29
Там, по идее, Гаусс должен пролетать со свистом. Берём очередную строку, идём по столбцу, если 1, прибавляем; если на диагонали получился 0, значит, определитель нулевой.
1
Байт
Эксперт C
18979 / 12188 / 2546
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 24,867
18.04.2018, 17:40 18
Лично я не нахожу каких-то огрехов в построениях уважаемого iifat, (пост 12) Остается попробовывать это хозяйство статистикой. Как нам уже признались уважаемые SSC, zer0mail, моделирование в числах оказалось весьма неточным просто из-за такой ерунды, как переполнение разрядной сетки. Однако, если все действия честно производить по модулю 2, таких нелепостей быть не должно.
Более того, при вычислении определителя классическим методом (перестановки) нас нисколько не должны волновать знаки членов. Ибо 1 + 1 = 1 - 1 = 0 (mod 2). Тут значимо количество ненулевых произведений (опять же потому же злосчастному модулю).
Я бы попробовал промоделировать все это хозяйство именно исходя из этих соображений, поскольку в нашей деревне зарядил скушный дождик. Но меня пугают размерности вычислений. Если тупо считать все определители даже по модулю 2, то уже и Солнышко появится, а мой несчастный ноут так и будет пыхтеть

Добавлено через 16 минут
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Мне тоже казалось, что должно быть одинаково.
Вот тут я увидел это хозяйство иначе. Четки - это идеал. А идеал обладает свойствами всасывания. Как и Нуль (естественно, тоже будучи Идеалом). Но это конечно так, некие метафизические размышления. Впрочем, в посте 12 все это прекрасно показано. Вплоть до числовой характеристики этого "всасывания"
iifat,
Жаль правда вот чего. Я ожидал решения совершенно не стандартного. Некого кульбита и поворота совершенно неожиданного. А получилось-то типа "терпение и труд..."
Чем я нисколько не хочу бросить даже небольшую тень на ваше замечательное решение...
0
zer0mail
2454 / 2090 / 217
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
18.04.2018, 19:32 19
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Вот это меня удивляет. Казалось бы, матриц среди 1х1 из нулей и единиц должно быть поровну нулевых и единичных. Мы чего-то не знаем о группе ?
49 - это 49%, с округлением до целого числа.
0
iifat
2365 / 1516 / 133
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,205
19.04.2018, 05:47 20
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
Я ожидал решения совершенно не стандартного
Увы. От такого и я б не отказался. Не вышел каменный цветок
Цитата Сообщение от Байт Посмотреть сообщение
моделирование в числах оказалось весьма неточным
Ну почему ж неточным — формула даёт 50, 37,5, 32,8, 30,76, 29,8, 29,33, 29,1, 29,05, 29,02, 29, 28,99 — вполне похоже на то что у zer0mail.
0
19.04.2018, 05:47
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
19.04.2018, 05:47

Какова вероятность, что корень данного уравнения будет больше 1?
дано действительное уравнение ax=b если a выбирается наудачу на интервале(0;8)...

Найти Вероятность того, что произведение чисел будет больше 4
Наугад выбрано два положительных числа Х и У, каждое с которых не превышает 10....

Какова вероятность, что сумма выпавших очков будет больше 7?
4) Подбрасывают 2 игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru