Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Статистика, теория вероятностей
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг: Рейтинг темы: голосов - 640, средняя оценка - 4.77
Doctor Evil
766 / 600 / 29
Регистрация: 20.03.2011
Сообщений: 621
#1

Статистика. Теория вероятностей - Теория вероятностей

27.05.2011, 21:16. Просмотров 84659. Ответов 11

Всем привет! Часто в данном разделе встречаются сообщения с просьбами о помощи в решении достаточно распространенных и тривиальных задач. Причины конечно могут быть разные, от лени самого топик стартера решать вверенные ему задачи, до не полной ясности изложенного на лекции материала. Но как бы то ни было, далее я постараюсь пройтись по темам, которые как раз таки изучаются в институтах. А делать я это собираюсь с помощью задач (естественно с их подробным разбором), подобных тем, что наиболее часто встречаются в задачниках и на форумах. В бой!

Классическое и статистическое определение вероятности.

Основные формулы
Классическое определение вероятности:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{m}{n},
где m-число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
n- общее число возможных элементарных исходов испытаний;
Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.
Относительная частота события А определяется равенством:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W(A)=\frac{m}{n},
где m- число испытаний, в которых событие А наступило;
n-общее число произведенных испытаний;


Пример 1

Брошена игральная кость. Какова вероятность, что на верхней ее грани будет а) четное число точек б) больше 2.
Решение. а) Обозначим события
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{1} - на верхней грани 1
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{2} - на верхней грани 2
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{3} - на верхней грани 3
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{4} - на верхней грани 4
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{5} - на верхней грани 5
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{6} - на верхней грани 6
Удовлетворяющие нас события: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{2},http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{4}<br />
,http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{6}, следовательно наше m=3, a n=6, так как всего существует 6 возможных элементарных исходов испытания. И тогда, искомая вероятность равна:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{m}{n}=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{3}{6}=0,5.
б) В данной случае нас удовлетвяряют события:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{3},http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{4},http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{5},
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{6}, следовательно:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{m}{n}=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{4}{6}=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2}{3}.

Пример 2


В группе 6 юношей и 18 девушек. По жребию разыгрываются билет в театр. Какова вероятность, что билет получит: а)девушка б)юноша.
Решение. а) В данном случае m=18, так как у нас 18 девушек (и нам неважно какая из них получит билет)
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{m}{n}=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{18}{24}=0,75
б)Здесь (зная вероятность в пункте а) ) можно решить несколькими способами, а именно: по классической теории определения вероятности:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{m}{n}=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{6}{24}=0,25.
Или вычесть из единицы вероятность события, рассмотренного в пункте
а).
P(A)=1-0,75=0,25;
Так как у нас полная группа событий (мы точно знаем, что кому-то достанется билет, и этот билет достанется либо юноше, либо девушки, никаких других исходов не существует.)


Геометрическое определение вероятности

Основные формулы
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L.На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его распложения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{l}{L}
То есть, если по простому, то отношению их длин.

Для двумерного случая:
Плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от его распложения относительно фигуры G, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{g}{G}
То есть, равна отношению площадей этих фигур Аналогично для пространственных фигур
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{v}{V}
где v-объем пространственной фигуры, которая составляет часть фигуры V

Пример 1
Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Какова вероятность, что точка окажется внутри вписанного в круг а)квадрата б)правильного треугольника.
Решение а)Из геометрии, площадь квадрата вписанного в круг равна
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=2{R}^{2}
где R-радиус круга, тогда
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{S_{g}}{S_{G}}=\frac{2{R}^{2}}{\pi {R}^{2} }=\frac{2}{\pi }, где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi {R}^{2} это площадь круга.
б)Из все той же геометрии (или в крайнем случае из википедии) находим площадь правильного треугольника вписанного в круг. Она равна:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\frac{3\sqrt{3}{R}^{2}}{4}
Подставляя во всю ту же формулу, получаем:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{S_{g}}{S_{G}}=\frac{{3\sqrt{3}{R}^{2}}}{4\pi {R}^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }

Пример 2

Статистика. Теория вероятностей
Искомая вероятность
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{S_{g}}{S_{G}}=\frac{S_{ONM}}{S_{OKM}}=0,5


Многими "любимая" комбинаторика

Перестановка и перестановка с повторением
Формулы
Перестановка-это любой упорядоченный набор из n элементов. Число
всех перестановок из n элементов равно:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{n}=n!

Пусть даны http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n_{1} элементов первого типа,http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n_{2}— второго типа, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n_{k}..., k — -го типа, всего n элементов. Способы разместить их по n различным местам называются перестановками с повторениями. Их количество обозначается .http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{n}(n_{1},n_{2},...,n_{k})=\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{k}!}

Пример 1
Сколько ожирелей из 7 бусинок разных размеров каждая можно составить из 7 бусинок разных размеров.
Решение. Ну, очевидно, что так как у нас каждое ожерелье состоит из 7 бусинок, и всех разных, и у нас как раз таки 7 бусинок, то количество способов их разместить будет 7!. Но, так как ожерелье замкнуто (1,2,3,4,5,6,7=2,3,4,5,6,7,1) где цифрами обозначено условно бусинки, нужно еще разделить на 7, и еще на 2, так как
1,2,3,4,5,6,7=7,6,5,4,3,2,1.
Тогда искомая вероятность:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{7}=\frac{7!}{7*2}=360
Ответ: можно составить 360 разных ожерелий.

Пример 2
Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков на которых написаны буквы А,А,А,Н,Н,С. получится слово ананас.
Решение. Пользуемся формулой перестановки с повторением.
Всего кубиков у нас 6 и все буквы используются, следовательно,
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{6}(1,2,3)=\frac{1!2!3!}{6!}=0,016
(почему здесь n! из формулы переместился в знаменатель, а (http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n_{1}!,http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n_{2}!...http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n_{k}!) в числитель? Только лишь потому что нам надо найти вероятность, а не количество способов. Способ, кстати, только один, вот мы на него и делим возможное количество перестановок).

Пример 3
На один ряд из 7 мест рассаживают 7 учеников. Какова вероятность,
что 3 определенных ученика будут сидеть вместе.
Решение. Упростим мысленно задачу. Пусть эти 3 ученика садятся на одно место, тогда у нас становится 5 мест. На которые могут рассесться 5 учеников, а это 5!, наши 3 ученика, сидящие вместе на одном месте могут между собой сесть 3! способами, следовательно:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{P_{5}P_{3}}{P_{7}}=\frac{5!3!}{7!}=0,142


Размещение и размещение с повторением

Формулы
Размещение- любой упорядоченный набор из m различных элементов взятых из n
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}

Пусть даны m различных видов предметов, которые можно разместить по n различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{A}_{n}^{m}={n}^{m}

Пример 1
Сколько четырехзначных чисел в пятиричной системе счисления.
Решение. Очевидно, будем пользоваться формулой размещения с повторением, так цифры в числах могут повторяться. В пятиричной системе счисления у нас 5 цифр (0,1,2,3,4) мы берем из этих пяти 4(так как нужно составить четырехзначное число)
Искомая вероятность:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\bar{A}_{5}^{4}-\bar{A}_{5}^{3}=625-125=500
Только вот откуда тут взялось http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{A}_{5}^{3}, которую мы вычитаем? Все просто, нам надо учесть, что 0 не может стоять на первом месте, так как это уже получится трехзначное число, поэтому она как раз и учитывает нашу "поправку".

Пример 2
Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
Решение. Ну тут все довольно просто. Это будет просто размещение 2 из 6. Потому, что цвета у нас все разные, повторений не получится.
Искомая вероятность:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\bar{A}_{6}^{2}=\frac{6!}{4!}=30


Сочетания и сочетания с повторениями
Формулы
Подсчитаем количество способов, которыми можно выбрать m из n различных предметов. Такие выборки называются сочетаниями, а их количество обозначается http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{n}^{m}. При m<n, выбрать m предметов из n можно http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{n}^{m} способами, переставляя их http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{k} способами: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{P_{m}}=\frac{n!}{(n-m)!m!}
Пусть имеются предметы n различных видов предметов, и из них составляются наборы, содержащие m элементов. Такие выборки называются сочетаниями с повторением. Их число обозначается
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{C}_{n}^{m}=C_{n+m-1}^{n-1}

Пример 1

Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

Пример 3
Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Случайно отобрали

5 сбербанков. Какова вероятность, что среди них а)3 в черте города

б)хотя бы один за чертой. в) не более двух в черте города
Решение.
а)Сбербанки у нас разные, значит используем формулу сочетаний без повторений.Всего у нас 10 сбербанков в черте, нам надо чтобы из 5 отобранных из всех ( то есть из 20) 3 было в черте. Как это сделать? Да очень просто, надо "вытащить" 3 сбербанка из 10 в черте
(http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{10}^{3}), умножить на http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{10}^{2} (слагаемое, которое "вытаскивает оставшиеся 2 банкка (5-3) из тех, которые находятся за чертой.) и разделить все это на количество способов "вытащить" 5 банков из 20, получим:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{C_{10}^{3}C_{10}^{2}}{C_{20}^{5}}=0.348
б)Одна только фраза: хотя бы один, говорит о том, что рационально будет пойти от обратного. То есть, в данном случае найти вероятность, что ни один за чертой не будет, и вычесть ее из единицы. Сказано, сделано!
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=1-\frac{C_{10}^{5}}{C_{20}^{5}}=1-0,016=0,984
в)Не более двух, значит, либо ни один, либо 1 один, либо 2. Найдем эти вероятности и сложим их между собой, это и будет искомой вероятностью
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{C_{10}^{0}*C_{10}^{5}+C_{10}^{4}*C_{10}^{1}+C_{10}^{2}*C_{10}^{3}}{C_{20}^{5}}=\frac{252+2100+5400}{15504}=0,5


Теоремы сложения и умножения вероятностей
Формулы
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A+B)=P(A)+P(B)
Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленнную в предположении, что первое событие уже наступило:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(AB)=P(A)P_{A}(B)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность несовместного появления двух событий равна произведению вероятностей этих событий:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(AB)=P(A)P(B)

Пример 1
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15

учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачи

три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых

учебников окажется в переплете (событие А).
Решение.
Первый способ. Требование-хотя бы один из трех взятых учебников в переплете - будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В-один учебник в переплете, С-два учебника в переплете, D-три учебника в переплете.
Интересующие нас событие А можно представить в виде суммы событий: А=В+С+D. По теореме сложения,
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=P(B)+P(C)+P(D)
Найдем теперь вероятности событий B,C,D.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(B)=\frac{C_{5}^{1}C_{10}^{2}}{C_{15}^{3}}=\frac{45}{91}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(C)=\frac{C_{5}^{2}C_{10}^{1}}{C_{15}^{3}}=\frac{20}{91}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(D)=\frac{C_{5}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{2}{91}
Подставляя эти значения, получим:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{45}{91}+\frac{20}{91}+\frac{2}{91}=\frac{67}{91}

Второй способ. Событие А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{A} (ни один из взятых учебников не имеет переплета) - противоположные, поэтому http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)+P(\bar{A})=1, отсюда http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{24}{91}=\frac{67}{91}

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

Пример 3
Статистика. Теория вероятностей


Полная вероятность
Формула
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{1},http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{2}....http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{n}, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+...+P(B_{n})P_{B_{n}}(A)
где, http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(B_{1})+P(B_{2})+...+P(B_{n})=1

Пример 1
Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

http://www.cyberforum.ru/statistics/thread1854373.html
45
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
27.05.2011, 21:16
Я подобрал для вас темы с готовыми решениями и ответами на вопрос Статистика. Теория вероятностей (Теория вероятностей):

Теория вероятностей и мат.статистика
Привет всем, а может кто нибудь придумать мне какие нибудь не тяжелые задачи по...

Теория вероятностей и математическая статистика
В ящике имеется по одинаковому числу деталей, изготовленных заводами №1 и №2....

Теория Вероятностей и Математическая статистика
1) В трех ящиках содержатся новогодние гирлянды, вероятности брака которых...

Статистика, теория вероятностей Гмурман
Помогите!! есть готовые решения задач по руководство к решению задач по теории...

Теория вероятностей и мат.статистика - 4 вариант
Помогите с решением этих задач: Задание №1. Темы: Алгебра событий; Формула...

11
Doctor Evil
766 / 600 / 29
Регистрация: 20.03.2011
Сообщений: 621
27.05.2011, 21:17  [ТС] #2
Формула Байеса
Формула
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из нисовместных событий http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{1},http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{2},...,http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B_{n}, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{A}(B_{i})=\frac{P(B_{i})P_{B_{i}}(A)}{P(A)}
(i=1,2,...,n), a http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=P(B_{1})P_{B_{1}}(A)+P(B_{2})P_{B_{2}}(A)+...+P(B_{n})P_{B_{n}}(A)

Пример 1
Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

Пример 3
Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандратных деталей равно 20,15,10 соответственно. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшаяся стандратной. Деталь возвращают в партии и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказыватся стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Решение
Статистика. Теория вероятностей


Формула Бернулли
Формула
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит ровно m раз (безразлично в какой последовательности), равна http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{n}^{m}=C_{n}^{m}{p}^{m}{q}^{n-m},
где q=1-p.

Пример 1
Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

Пример 3
Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех, или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются) ?
Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятнсоть выигрыша р=0,5, следовательно, и вероятность проигрыша q=0,5. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{4}^{2}=C_{4}^{2}{p}^{2}{q}^{2}=\frac{4*3}{2}*\frac{1^2}{2^2}*\frac{1^2}{2^2}=\frac{6}{16}
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{6}^{3}=C_{6}^{3}{p}^{3}{q}^{3}=\frac{4*5*6}{1*2*3}*\frac{1^3}{2^3}*\frac{1^3}{2^3}=\frac{5}{16}Так как http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{4}(2)>P_{6}(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.


Локальные и интегральные теоремы Лапласа
Формулы
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна(тем точнее, чем больше n)http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{n}^{m}=\frac{\varphi (x)}{\sqrt{npq}}
Здесь,
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi (x)=\frac{{e}^{\frac{-x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }},
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}}

Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит не менее http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m_{1} раз и не более http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m_{2} раз, приближенно равнаP(m1;m2)=Ф(х2)-Ф(х1)
Здесь,
Ф(х)=http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{x}{e}^{\frac{-z^2}{2}}dz - функция Лапласа
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{1}=\frac{m_{1}-np}{\sqrt{npq}}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{2}=\frac{m_{2}-np}{\sqrt{npq}}

Пример 1
Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

Пример 3
Статистика. Теория вероятностей
в) События А-появилось не менее 75 раз и А появилось не более 74 раз противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{100}(0;74)=1-P_{100}(75;100)=1-0,8944=0,1056


Формула Пуассона.
Формулы

Данную формулу используют при больших значениях n и малых значениях p.
Теорема. Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно m раз приближенно равна:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_n(m)=\frac{\lambda ^m}{m!}e^{-\lambda},
где http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda =np

Пример 1

На факультете 1825 студентов. Какова вероятность, что первое сентября является днем рождения 4 студентов факультета?
Очевидно, что использовать в данном случае формулу Бернулли нецелесообразно, так как n очень велико. Поэтому применим формулу Пуассона для решения данной задачи. В данном случае мы имеем:
n=1825
m=4
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\frac{1}{365} (будем считать, что год не високосный)
Тогда, подставляя значения найдем сначала http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda, а потом уже и саму вероятность.

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda =np=\frac{1825}{365}=5

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{1825}(4)=\frac{5^4}{4!}*e^{-5}\approx 0.1755

Пример 2

Завод отправляет на базу 500 изделий, вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:
a)3 изделия
b)менее трех изделий
c)более трех изделий
d)хотя бы одно
Опять же таки, для данного типа задач удобно применять формулу Пуассона.
n=500
p=0,002

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda =500*0,002=1

a)m=3
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{500}(3)=\frac{1}{6*2,7}=0,061

b) m=0,1,2

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{500}(0,1,2)=P_{500}(0)+P_{500}(1) + P_{500}(2)=\frac{1}{2,7}+\frac{1}{2,7}+ \frac{1}{2*2,7}=0,925
c)Очевидно, что вероятность наступления этого события противоположно наступлению событию в букве b, следовательно:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=1-0.925=0.075

d)Данные случай лучше рассматривать от обратного. То есть найти вероятность что не будет повреждено ни одного изделия и вычесть эту вероятность из единицы:

http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=1 - \frac{1}{2.7}=0.63
37
Doctor Evil
766 / 600 / 29
Регистрация: 20.03.2011
Сообщений: 621
27.05.2011, 21:19  [ТС] #3
Закон расределения Дискретной случайной величины (ДСВ)
Формула
Законом распределения ДСВ называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон расредления ДСВ Х может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{i}, а вторая вероятности http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{i}

Биномиальным называют закон распределения ДСВ Х-числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, вероятность возможного значения X=m (числа m появлений события) вычисляют по формуле Бернулли.
Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытанеии очень мала, то используют приближенную формулу
Пуассона:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{n}(m)=\frac{{\lambda }^{m}{e}^{-\lambda }}{m!}

Пример 1
Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей


Числовые характеристики случайных величин
Формулы
Мат. ожидание случайной величины Х называется сумма произведений значений Х на их соответствующие вероятности.
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(X)=\sum_{i=1}^{m}x_{i}p_{i}
Дисперсией случайной величины называют мат. ожидание квадрата отклонения случайно величины от мат. ожидания
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(X)=M({X-M(X)}^{2})
Для ДСВ
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(X)=\sum_{i=1}^{m}({x_{i}}^{2}p_{i})-{M(X)}^{2}
Для НСВ
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D(X)=\int_{-\propto }^{+\propto }({X}^{2}p(x)dx-{M(X)}^{2}

Среднее квадратичное отклонение

Средним квадратичным отклонением называют корень квадратный из дисперсии
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma (x)=\sqrt{D(X)}

Пример 1
Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

Пример 3
Статистика. Теория вероятностей


Функции распределения вероятностей случайной величины и плотность распределения вероятностей случайной величины
Формулы
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.
F(x)=P(X<x)
Плотностью распределения вероятностей случайной величины называют первую производную от функции распределения:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={F^{'}}(x)
Зная плотность распределения можно найти функцию распределения
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt

Пример 1
Статистика. Теория вероятностей

Пример 2
Статистика. Теория вероятностей

Пример 3
Статистика. Теория вероятностей
г)http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(0<X<\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}(sin\frac{\pi }{4}+1)-\frac{1}{2}(sin0+1)=\frac{\sqrt{2}}{4}


P.s. Возможны последующие добавления
P.ps. или исправления
35
easybudda
Модератор
Эксперт CЭксперт С++
10021 / 5944 / 1483
Регистрация: 25.07.2009
Сообщений: 11,230
06.07.2011, 18:02 #4
Doctor Evil, спасибо, очень познавательно, только пара вопросов появилась:
В первом же примере про кубик:
Цитата Сообщение от Doctor Evil Посмотреть сообщение
Какова вероятность, что на верхней ее грани будет а) четное число точек б) больше 2.
Цитата Сообщение от Doctor Evil Посмотреть сообщение
Удовлетворяющие нас события: А2, А4, А6...
А2 не больше двух - ошибка, наверное?

Цитата Сообщение от Doctor Evil Посмотреть сообщение
Перестановка и перестановка с повторением
В третьем примере:

Цитата Сообщение от Doctor Evil Посмотреть сообщение
На один ряд из 7 мест рассаживают 7 учеников. Какова вероятность,
что 3 определенных ученика будут сидеть вместе.
Решение. Упростим мысленно задачу. Пусть эти 3 ученика садятся на одно место, тогда у нас становится 5 мест.
Вот этого тоже не понял - если было 7 мест, 3 ученика уселись на одно, почему мест 5 осталось?
6
Doctor Evil
766 / 600 / 29
Регистрация: 20.03.2011
Сообщений: 621
06.07.2011, 18:58  [ТС] #5
По поводу первого примера, мы там рассматриваем 2 разных случая.
а) четное количество очков будет
б) больше двух
Для четного устраивают события А2,А4 и А6
Для "больше двух" соответственно А3,А4,А5 и А6
Если бы мы рассматривали чтобы и четное количество очков было и больше двух, тогда согласен, устраивали только А4 и А6.
По поводу перестановок, мы там как бы упрощаем задачу, садим нужных трех учеников на 1 место, в итоге у нас получается ряд из 4 учеников по одному на место, и 1 с тремя, то есть в итоге ряд как будто из 5. Но, почему справедливо такое упрощение, при расчете вероятности мы не можем разъединять этот ряд, то есть эти "5" учеников мы "передвигаем вместе", мы не можем посадить 2, потом пропустить к примеру, место, и остальных троих. Всего мест семь, мы можем их посадить:
12345(6 пусто)(7пусто) или (1пусто)23456(7пусто) или (1пусто)(2пусто)34567
5! это количество рассадить 5 учеников на 5 мест
3! это между собой рассадить 3 нужных нам ученика
ну и 7! в знаменателе это общее количество способов рассадить 7 учеников на 7 мест, независимо от того, кто с кем должен сидеть.
Надеюсь сейчас понятно
9
Jaguar
392 / 278 / 38
Регистрация: 06.08.2010
Сообщений: 834
28.07.2011, 00:41 #6
Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Фредерик Мостеллер
17
Вложения
Тип файла: zip Пятьдесят задач.zip (1.89 Мб, 1046 просмотров)
cosx
8 / 7 / 0
Регистрация: 28.08.2012
Сообщений: 17
10.09.2012, 01:34 #7
Исправьте, пожалуйста, название раздела. Грамотно: теория вероятносТЕЙ. И только так))
2
myn
817 / 667 / 99
Регистрация: 11.11.2012
Сообщений: 1,752
27.11.2012, 01:08 #8
Лучшие и наиболее известные учебники и задачники по теории вероятностей:

Вентцель, Овчаров "Задачи и упражнения по теории вероятностей" - множество примеров и решенных задач, от элементарного до серьезного уровня, есть ответы и пояснения к задачам.

Еще отличный и понятный элементарный учебник Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика"


Зубков, Севастьянов, Чистяков Сборник задач по ТВ
Вентцель Е.С. Теория вероятностей
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Гмурман_Руководство к решению задач
Гнеденко Б.В._Курс теории вероятностей
13
myn
817 / 667 / 99
Регистрация: 11.11.2012
Сообщений: 1,752
29.11.2012, 00:32 #9
Размещу еще собранные долгими усилиями более серьезные учебники для углубленного изучения материала.

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения (2 тома). М., Мир, 1964; Либроком, 2010 г.

2. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Наука, 1986; Либроком 2009. – 656 с.


3. Боровков А.А. Математическая статистика. М., Наука, 1984. – 472 с.

4. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.: Наука, 1974.


5. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.

6. Ширяев, А. Н. Вероятность, Наука. М.: 1989; МЦНМО, 2007. – 968 с. (2 книги).


7. Закс Л. Статистическое оценивание. – М.: Статистика, 1976. – 598 с.

8. Б.Л. Ван дер Варден. Математическая статистика. Пер. с нем. М.: Изд. иностр. литературы, 1960. - 435 с.
12
zer0mail
2451 / 2085 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,566
Записей в блоге: 1
28.05.2013, 10:16 #10
в первом сообщении такая фраза:
"Теорема умножения вероятностей. Вероятность несовместного появления двух событий равна произведению вероятностей этих событий"

Вообще-то это неправильно, надо вместо несовместного написать про независимые события. Понятие несовместных событий в ТВ означает, что эти события не могут произойти одновременно. А независимые - могут, причем вероятность каждого не зависит от того, наступило другое событие или нет.
2
EugeneBoss03
0 / 0 / 0
Регистрация: 30.04.2013
Сообщений: 6
29.05.2013, 10:19 #11
Doctor Evil, спасибо за информацию по ТВ.
Где можно найти более подробно по теории массового обслуживания?
Я сам не математик, но есть проблема, где нужно использовать ТМО.
Буду признателен.
0
MayaNash
1291 / 459 / 151
Регистрация: 24.08.2011
Сообщений: 2,245
15.10.2015, 19:45 #12
Цитата Сообщение от Doctor Evil Посмотреть сообщение
Пусть даны m различных видов предметов, которые можно разместить по n различным местам
Наоборот - n видов по m местам (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0...8F.D0.BC.D0.B8)
0
15.10.2015, 19:45
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
15.10.2015, 19:45
Привет! Вот еще темы с решениями:

Распределение вероятностей, Статистика
Я сам Статистику не знаю совершенно, просто нужно проверить гипотезу что два...

Теория вероятностей 3
Здравствуйте! Помогите пожалуйста с контрольной работой. Я в состоянии полного...

Теория вероятностей
помогите с решением!! Является ли формула f(x) = -x (в квадрате) плотностью...

Теория вероятностей!
1.Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0.7.Найти вероятность,того,что из...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
12
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru