Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Наши страницы
Статистика, теория вероятностей
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.68/99: Рейтинг темы: голосов - 99, средняя оценка - 4.68
zer0mail
2452 / 2089 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
1

Вероятность вытащить "k" красных шаров из ящика, где "K" красных шаров (а всего "N")

23.10.2012, 16:29. Просмотров 18365. Ответов 13
Метки нет (Все метки)

В ящике N шаров, из них K красных, остальные черные. Вытаскиваем n шаров (случайным образом, без возврата). Какая вероятность, что k из них красные? Для решения используем одну из ключевых формул комбинаторики: количество способов вытащить n шаров из N без учета порядка вытаскивания (и без возврата) равно http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{N}^{n} - это называется "число сочетаний из N по n". Доказательство легко найти в интернете. Для справки: http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{N}^{n}=\frac{N!}{n!*(N-n)!}, где N!=1*2*3...N (считается, что 0!=1)

Итак, общее количество способов (комбинаций) при вытаскивании n шаров из нашего ящика (неважно, какого цвета и в каком порядке) http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{N}^{n} . Кто не понял, прочитайте предыдущий абзац. Теперь надо найти, сколько среди этих комбинаций содержат ровно k красных шаров ("нужные" комбинации).

Мысленно разложим шары в ящике на 2 кучи - в одной K красных шаров, в другой N-K черных.
Способов вытащить из первой кучи k красных шаров http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{K}^{k} .
Соответственно, способов вытащить из второй кучи (n-k) черных шаров http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{N-K}^{n-k} . Значит, общее количество "нужных" комбинаций, содержащих ровно k красных шаров из n выращенных равно http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{K}^{k} *C_{N-K}^{n-k}  (поскольку каждой такой комбинации соотвествует одна из комбинации "выбор k красных из K" и одна из комбинаций "выбор n-k черных из N-K".

Искомая вероятность - это отношение количества "нужных" комбинаций к общему числу комбинаций, т.е. http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(k,n,K,N)=\frac{C_{K}^{k} *C_{N-K}^{n-k}}{C_{N}^{n}}

Вместо шаров могут быть карты, студенты, детали - что угодно..
Вместо "красных" шаров могут быть, масти, тузы, отличники, брак и т.д.
12
Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.
Similar
Эксперт
41792 / 34177 / 6122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 57,940
23.10.2012, 16:29
Ответы с готовыми решениями:

Найти вероятность двукратного выпадения "6" на кости и наиболее вероятное число выпадений "6"
3) Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что два раза...

Какова вероятность, что "1" или "6" выпадет <= 2 раз?
Кубик бросили 12 раз. Какова вероятность, что &quot;1&quot; ИЛИ &quot;6&quot; выпадет &lt;= 2 раз?

какова вероятность того, что из перемешанных букв слова "АНАНАС" по порядку увлекая буквы получим слово "АНАНАС"
помогите пожалуйста))

На первом курсе учится 20 студентов группы "Финансы" и 10 - "Информационные системы"
На первом курсе учится 20 студентов группы &quot;Финансы&quot; и 10 - &quot;Информационные...

Пусть "кси" и "тета" независимые случайные величины
Пусть &quot;кси&quot; и &quot;тета&quot; независимые случайные величины. Случайная величина &quot;кси&quot;...

13
Zitri
1 / 1 / 0
Регистрация: 21.05.2013
Сообщений: 34
22.05.2013, 21:06 2
СkK у нас будет = 1 ?
0
myn
817 / 667 / 99
Регистрация: 11.11.2012
Сообщений: 1,752
08.05.2014, 20:33 3
zer0mail, Вы не будете возражать, если я дополню вашу темку примером? Уж больно часто такие задачки публикуют..

Пример. В ящике 10 шаров, из них 4 красных, остальные черные. Вытаскиваем 5 шаров (случайным образом, без возврата). Какая вероятность, что 2 из них красные?
Решение.
1 способ. Комбинаторика (изложенный выше).
Общее число вариантов - число способов вытащить 5 шаров из 10 - число сочетаний из 10 по 5:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{10}^5=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=252
Число благоприятных вариантов - число способов вытащить 2 красных из 4 имеющихся, умноженное на число способов вытащить еще оставшиеся 3 шара из 6 черных:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{4}^2 \cdot C_6^3=\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot \frac{6!}{3!\cdot 3!}=6 \cdot 20=120
Вероятность искомого события А={из 5 извлеченных шаров будет ровно 2 красных} равна:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}

2 способ. Теоремы сложения-умножения
А={из 5 извлеченных шаров будет ровно 2 красных}
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=A_1 \cdot A_2 \cdot \bar{A}_3 \cdot \bar{A}_4 \cdot \bar{A}_5+\bar{A}_1 \cdot A_2 \cdot A_3 \cdot \bar{A}_4 \cdot \bar{A}_5+A_1 \cdot \bar{A}_2 \cdot A_3 \cdot \bar{A}_4 \cdot \bar{A}_5+...
и таких С52=10 вариантов, в каком порядке могут доставаться 2 красных и 3 черных шарика.
где Ai - i-й красный шарик
Поэтому по теореме сложения для несовместных событий и теореме умножения для зависимых событий вероятность события А равна:
http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P(A)=10 \cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{6}{8}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{4}{6}=\frac{10}{21}
3
retros
122 / 80 / 20
Регистрация: 24.05.2014
Сообщений: 304
14.07.2014, 11:18 4
Решить такого вида задачу можно также в EXCEL с использованием статистической функуии ГИПЕРГЕОМЕТ, поскольку вероятность описывается гипергеометрическим распределением. Конечно, при этом надо знать формулы комбинаторики и понимать логику решения, но использование EXCEL может значительно облегчить расчёты, особенно при больших численных значениях исходных данных, например, при расчётах по статистическому контролю качества. Так, вероятность того, что в выборке из парти продукции не более 2 дефектных изделий, определяется суммой вероятностей того, что в выборке 0, 1 и 2 дефектных изделмя.
Если объём выборки не превышает 0,1 объёма партии, гипергеометрическое распределение можно с хорошим приближением заменить биномиальным (функция БИНОМРАСП). Если при этом доля дефектных изделий в партии не превышает 0,1, можно использовать распределение Пуассона (функция ПУАССОН).
Более подробно о расчётах по статистическому контролю качества можно посмотреть на http://statmetkach.com/lab2.html.
1
Таланов
1545 / 823 / 104
Регистрация: 06.12.2012
Сообщений: 3,469
14.07.2014, 16:48 5
Если уж речь пошла об Экселе, то по функции ГИПЕРГЕОМЕТ можно всегда находить точное значение. В ней же можно задать интегральный вид, тогда сложение вероятностей вам и возвернётся.
1
retros
122 / 80 / 20
Регистрация: 24.05.2014
Сообщений: 304
15.07.2014, 13:23 6
Интегральный вид гипергеометрического распределения можно задать в последних версиях Excel при использовании функции ГИПЕРГЕОМ.РАСП. Но очень многие работают в версии 2003, где есть только ГИПЕРГЕОМЕТ, по которой рассчитывается лишь дифференциальная функция. Кроме того, у многих довольно старое "железо", в котором ГИПЕРГЕОМЕТ при больших значениях исходных данных не поддаётся расчёту. В этих случаях удобно БИНОМРАСП или ПУАССОН. При этом возникающая неточность, учитывая вероятностный характер результата, несущественна.
0
Таланов
1545 / 823 / 104
Регистрация: 06.12.2012
Сообщений: 3,469
15.07.2014, 14:18 7
Цитата Сообщение от retros Посмотреть сообщение
Интегральный вид гипергеометрического распределения можно задать в последних версиях Excel при использовании функции ГИПЕРГЕОМ.РАСП. Но очень многие работают в версии 2003, где есть только ГИПЕРГЕОМЕТ, по которой рассчитывается лишь дифференциальная функция.
Поставьте в последней строчке 1 вместо 0 и получите интегральную формулу.
0
retros
122 / 80 / 20
Регистрация: 24.05.2014
Сообщений: 304
15.07.2014, 15:30 8
Очевидно, Вы имеете в виду ГИПЕРГЕОМ.РАСП. В ГМПЕРГЕОМЕТ такой возможности нет. Почему часто необходимо использовать ГИПЕРГЕОМЕТ, БИНОМРАСП или ПУАССОН, я пояснил выше.
1
zer0mail
2452 / 2089 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
25.03.2016, 16:23  [ТС] 9
Странная штука получается. Три темы попали в раздел "важное!" и у них в сумме >20тыс просмотров. А "Спасибов" <20, т.е. меньше 1 на 1000 просмотров (КПД даже с паровозом не сравнить) .
Может, я не так пишу или не туда...
0
retros
122 / 80 / 20
Регистрация: 24.05.2014
Сообщений: 304
27.03.2016, 22:11 10
Всё так, спасибо. Но, видимо, многие спрашивающие или не находят (например, не хотят находить) эти статьи, или не хотят решать сами, или не могут понять, о чём вообще речь.
0
zer0mail
2452 / 2089 / 216
Регистрация: 03.07.2012
Сообщений: 7,577
Записей в блоге: 1
28.03.2016, 15:09  [ТС] 11
Я не про тех, кто не находит. Я про тех, кто просмотрел (их>20тыс). Может, я пишу не только не так и не туда, но и не тем?
0
retros
122 / 80 / 20
Регистрация: 24.05.2014
Сообщений: 304
28.03.2016, 16:35 12
Думаю, высокая посещаемость оттого, что много заходит просто любопытствующих, привлечённых заголовком "Важно". И потом, "Спасибо" ставят гораздо чаще за конкретное решение, а не за методику решения или объяснение общих положений. По-моему, всё на месте. Это только моё мнение.
0
eptvoyamatb
0 / 0 / 0
Регистрация: 30.04.2015
Сообщений: 1
26.12.2016, 16:52 13
Вот смотрите: у нас есть тот же пример с корзиной и шарами, но достаем мы их кучей, у них не существует порядка и они ничем не различаются. Единственное, что мы знаем, это состав текущей кучи. Рассмотрим второй вариант приведенного Вами решения.
Вот вопрос: почему мы должны складывать вероятности вариантов последовательностей http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$A_1A_2\overline{A_3}\overline{A_4}\overline{A_5}$ или как в этом случае считать вероятности? Ведь по факту кучи http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$A_1A_2\overline{A_3}\overline{A_4}\overline{A_5}$ и http://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$\overline{A_1}\overline{A_2}A_3A_4\overline{A_5}$ неразличимы.
0
myn
817 / 667 / 99
Регистрация: 11.11.2012
Сообщений: 1,752
27.12.2016, 00:15 14
но это разные варианты развития событий, которые приведут к благоприятному для нас варианту.

когда используете комбинаторику - берете шары кучей.

когда используем теоремы сложения-умножения - вы разбиваете ваше искомое сложное событие на комбинацию каких-то элементарных, которые к нему приведут. Т.е. рассматриваете их как некую последовательность во времени - "первым достали красный шар, вторым черный или первым черный, вторым красный".
потому что, если рассматривать два извлечения, и вероятности исходов таких событий как:
А1="при вытаскивании 2 шаров будет один красный один черный"
А2=" -//- два красных "
А3=" - //- два черных"
пеовому варианту будет соответствовать два способа появления шаров: первый красный, второй черный ИЛИ первый черный, второй красный. И оба этих способа приведут к событию А1.
А если вы не будете этого учитывать, вы просто совершенно несправедливо уменьшите вероятность появления такого событий в 2 раза.
0
27.12.2016, 00:15
MoreAnswers
Эксперт
37091 / 29110 / 5898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 43,301
27.12.2016, 00:15

Произведение числа появлений "герба" на число появлений "цифры"
Чему = произведение числа появлений &quot;герба&quot; на число появлений &quot;цифры&quot;, если...

Какова веротность получения слова "кара" из слова "карандаш".
Помогите пожалуйста!!! 1)из карточек с буквами К.А.Р.А.Н.Д.А.Ш наудачу...

Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 шаров окажется не менее трех красных
2. В урне 3 черных и 7 красных шаров. Найти вероятность того, что среди наудачу...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
14
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2018, vBulletin Solutions, Inc.
Рейтинг@Mail.ru