В n ящиках размещают 2n шаров. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст

@ASUV · Регистрация: 10.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В n ящиках размещают 2n шаров. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст.

@rahim · 20.05.2013, 13:07

Вы уверены в условии задачи?

zer0mail · 20.05.2013, 13:41

Для n=2,3 ТС может решить?

@skaa · 20.05.2013, 19:19

Давай так: m шаров и M ящиков ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m\geq M$ ).

1) Всего способов раскидать шары по ящикам $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M^m$ потому что первый шар можно положить в M ящиков, второй в M ящиков, и т.д..

2) В каждом ящике должен лежать хотя бы один шар. По одному шару можно разместить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_m^M$ способами, а остальные шары надо раскидать по той же формуле которая использовалась в 1). Т.е. число благоприятных случаев $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_m^M\cdot M^{m-M}$ .

3) Вероятность что ни один ящик не будет пустым $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{A_m^M\cdot M^{m-M}}{M^m}$ .

Теперь подставляем 2n вместо m и n вместо M: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{A_{2n}^n\cdot (2n)^n}{n^{2n}}$ .

@algebraist · 21.05.2013, 07:31

Совершенно неверное решение. Достаточно проверить для двух ящиков и 4 шариков, чтобы получить по этой формуле втрое больше благоприятных исходов, чем всего.

@skaa · 21.05.2013, 18:44

Да, лохонулся... в числителе посчитал некоторые комбинации по несколько раз. Будем думать дальше...

Добавлено через 45 минут
ooo...o - это шары, их m.
|||...| - это перегородки ящиков, их M-1.
Всего комбинаций без учёта повторений будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m+M-1}^{M-1}$ - количество способов расставить перегородки в множестве из шаров и перегородок.
Хорошие комбинации - это такие что перегородка находится между шарами, а таких мест m-1. Количество способов расставить M-1 перегородку в m-1 место $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m-1}^{M-1}$ .

Значит:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{C_{m-1}^{M-1}}{C_{m+M-1}^{M-1}}$ .

А в нашем случае:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{C_{m-1}^{M-1}}{C_{m+M-1}^{M-1}}$ .

@algebraist · 21.05.2013, 20:10

Шары в этой задаче обычно считаются различимыми. Вы решаете совсем другую задачу.

@skaa · 21.05.2013, 21:17

В условии не написано что шары различные. Да и если мы набросаем в ящики разных шаров или одинаковых, то вероятность того что ящики будут пустыми или полными от этого ведь не изменится?

@algebraist · 22.05.2013, 22:08

В условиях редко пишут такие вещи. Размеется, изменится. Смотря как бросать будете.
Когда вы размещаете два шара по двум ящикам, сколько равновозможных расположений будет? 4 или 3? Вероятность увидеть два шара в первом ящике 1/4 или 1/3? Вероятности в случае, когда шары различимы, и когда нет, абсолютно разные.

zer0mail · 22.05.2013, 22:22

Сообщение от algebraist

Смотря как бросать будете.

Вот именно - зависит от как бросать, а не от различать шары или нет.
Если два шара бросают независимо и случайно (а именно такой вариант наиболее вероятен), то
1-й 2-й Вероятность
12 0 1/4
1 2 1/4
2 1 1/4
0 12 1/4

Вероятность иметь в 1-м ящика 2 шара=1/4 и не зависит от того, различаем мы 2 и 3 строки или объединяем.

В исходной задаче, если все шары бросаются случайно и независимо, неважно различаем мы шары или нет (просто используем удобный для подсчета способ).

Байт · 22.05.2013, 22:40

Если шарики одинаковы, а ящики разные, кол-во удач равно кол-ву натуральных решений
x₁+ ... x_n = 2n
Что есть C_2n-1^n-1
Ну а общее кол-во размещений равно кол-ву неотрицательных решений этого уравнения, т.е C_3n-1^n-1
Остается только разделить...

@algebraist · 22.05.2013, 23:23

zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно? В любом учебнике по элементарной комбинаторике, да плюс определение классической вероятности. В "решении" выше вероятность, которая у Вас равна 1/4, считается равной 1/3. Потому что равновозможных исходов - три: оба шара в первом ящике, оба во втором, либо по одному там и там. Ибо шары там не различаются.

zer0mail · 22.05.2013, 23:25

Сообщение от algebraist

zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно? В "решении" выше вероятность, которая у Вас равна 1/4, считается равной 1/3. Потому что равновозможных исходов - три: оба шара в первом ящике, оба во втором, либо по одному там и там.

Насмешил

@algebraist · 22.05.2013, 23:28

Я не знаю, какие есть еще средства доказать человеку, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2+2-1}^{2-1}=3$ :

Сообщение от skaa

Всего комбинаций без учёта повторений будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m+M-1}^{M-1}$ - количество способов расставить перегородки в множестве из шаров и перегородок.

Любопытно мне, Вы извиняться потом будете, или сделаете вид, что всё нормально?

@skaa · 23.05.2013, 01:01

Хочется прийти к истине...

Рассмотрим такой опыт.
Два человека бросают по очереди пронумерованные шары в ящики. У одного глаза открыты. У другого завязаны, и он может определить только наощупь - пустые ящики или нет. Для них ведь благоприятные случаи будут повторяться с одной и той же вероятностью?

Где ошибка в моих рассуждениях?

@algebraist · 23.05.2013, 05:18

Если они бросают одинаково, то, разумеется, доля случаев, когда все ящики заполнены, будет одна и та же. Природе безразлично, есть ли у наблюдателя глаза. Например, если каждому шару, независимо от прочих, равновозможно попасть в любой ящик, то при двух шарах и двух ящиках
1) если мы различаем шары, будет два благоприятных исхода из 4 равновозможных, вероятность 1/2;
2) если не различаем, будет один благоприятный исход из трех неравновозможных. У этого исхода вероятность 1/2, он склеился из двух исходов в предыдущей схеме.

Вы же полагаете, что в случае (2) три имеющихся исхода ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2+2-1}^{2-1}$ ) равновозможны. И вероятность у каждого из них 1/3. Эта схема имеет право на существование, называется она моделью Бозе - Эйнштейна, и возникает как правило в ФЭЧ. В урновых схемах она - нонсенс. Это и есть схема неразличимых шаров. Когда по номерам различить нельзя, равновозможными объявляют размещения шаров, отличные количеством шаров в ящиках.

zer0mail · 23.05.2013, 08:41

Сообщение от algebraist

zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно? В любом учебнике по элементарной комбинаторике, да плюс определение классической вероятности. В "решении" выше вероятность, которая у Вас равна 1/4, считается равной 1/3. Потому что равновозможных исходов - три: оба шара в первом ящике, оба во втором, либо по одному там и там. Ибо шары там не различаются.

Ссылку дайте на учебник и страницу. Интересно глянуть, где при раскладывании 2 шаров по 2 урнам "по-умолчанию" считают вероятности по 1/3. Применять для урн и шаров в теории вероятностей схему Бозе-Эйнштена - это абсурд. Не надо путать шары без номеров (и которые можно занумеровать) и элементарные частицы, которые нельзя занумеровать в принципе. Лучше уж вообще не знать (можно узнать, разобраться), чем применять знания не там, где надо

@algebraist · 23.05.2013, 08:44

Сообщение от zer0mail

Применять для урн и шаров в теории вероятностей схему Бозе-Эйнштена - это абсурд.

Ссылку дайте на учебник и страницу. Интересно глянуть, где при раскладывании 2 шаров по 2 урнам "по-умолчанию" считают вероятности по 1/3.

Именно это я вторую страницу и пытаюсь до Вас и до авторов приведенных выше "решений" донести. Попробуйте перечитать ветку с начала. Может, и увидите, что именно в "решениях" выше вероятности и есть по 1/3.

Извиняться, я так понимаю, не будете, а это воспринимать как слив?

zer0mail · 23.05.2013, 09:37

Я не про то, что пишут другие. Я про то, что Вы пишите мне: "zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно?" в ответ на
"В исходной задаче, если все шары бросаются случайно и независимо, неважно различаем мы шары или нет (просто используем удобный для подсчета способ)."
Я хочу увидеть учебник по ТВ с этими самыми схемами с неразличимыми шарами.

@algebraist · 23.05.2013, 09:43

Например, 1-й том Феллера.

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	22.05.2013, 22:40	11
	Если шарики одинаковы, а ящики разные, кол-во удач равно кол-ву натуральных решений x₁+ ... x_n = 2n Что есть C_2n-1^n-1 Ну а общее кол-во размещений равно кол-ву неотрицательных решений этого уравнения, т.е C_3n-1^n-1 Остается только разделить... 0

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	22.05.2013, 23:28	14
	Я не знаю, какие есть еще средства доказать человеку, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2+2-1}^{2-1}=3$ : Сообщение от skaa Всего комбинаций без учёта повторений будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m+M-1}^{M-1}$ - количество способов расставить перегородки в множестве из шаров и перегородок. Любопытно мне, Вы извиняться потом будете, или сделаете вид, что всё нормально? 0

@skaa Хочу в Исландию 1041 / 840 / 119 Регистрация: 10.11.2010 Сообщений: 1,630
	23.05.2013, 01:01	15
	Хочется прийти к истине... Рассмотрим такой опыт. Два человека бросают по очереди пронумерованные шары в ящики. У одного глаза открыты. У другого завязаны, и он может определить только наощупь - пустые ящики или нет. Для них ведь благоприятные случаи будут повторяться с одной и той же вероятностью? Где ошибка в моих рассуждениях? 0

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	23.05.2013, 05:18	16
	Если они бросают одинаково, то, разумеется, доля случаев, когда все ящики заполнены, будет одна и та же. Природе безразлично, есть ли у наблюдателя глаза. Например, если каждому шару, независимо от прочих, равновозможно попасть в любой ящик, то при двух шарах и двух ящиках 1) если мы различаем шары, будет два благоприятных исхода из 4 равновозможных, вероятность 1/2; 2) если не различаем, будет один благоприятный исход из трех неравновозможных. У этого исхода вероятность 1/2, он склеился из двух исходов в предыдущей схеме. Вы же полагаете, что в случае (2) три имеющихся исхода ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{2+2-1}^{2-1}$ ) равновозможны. И вероятность у каждого из них 1/3. Эта схема имеет право на существование, называется она моделью Бозе - Эйнштейна, и возникает как правило в ФЭЧ. В урновых схемах она - нонсенс. Это и есть схема неразличимых шаров. Когда по номерам различить нельзя, равновозможными объявляют размещения шаров, отличные количеством шаров в ящиках. 0

@ASUV 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.12.2012 Сообщений: 10
		1
	В n ящиках размещают 2n шаров. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст 19.05.2013, 20:49. Показов 17274. Ответов 48 Метки нет (Все метки) В n ящиках размещают 2n шаров. Найти вероятность того, что ни один ящик не пуст. 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	20.05.2013, 13:07	2
	Вы уверены в условии задачи? 0

zer0mail 2662 / 2237 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,138 Записей в блоге: 1
	20.05.2013, 13:41	3
	Для n=2,3 ТС может решить? 0

@skaa Хочу в Исландию 1041 / 840 / 119 Регистрация: 10.11.2010 Сообщений: 1,630
	20.05.2013, 19:19	4
	Давай так: m шаров и M ящиков ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m\geq M$ ). 1) Всего способов раскидать шары по ящикам $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M^m$ потому что первый шар можно положить в M ящиков, второй в M ящиков, и т.д.. 2) В каждом ящике должен лежать хотя бы один шар. По одному шару можно разместить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_m^M$ способами, а остальные шары надо раскидать по той же формуле которая использовалась в 1). Т.е. число благоприятных случаев $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_m^M\cdot M^{m-M}$ . 3) Вероятность что ни один ящик не будет пустым $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{A_m^M\cdot M^{m-M}}{M^m}$ . Теперь подставляем 2n вместо m и n вместо M: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{A_{2n}^n\cdot (2n)^n}{n^{2n}}$ . 2

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	21.05.2013, 07:31	5
	Совершенно неверное решение. Достаточно проверить для двух ящиков и 4 шариков, чтобы получить по этой формуле втрое больше благоприятных исходов, чем всего. 0

@skaa Хочу в Исландию 1041 / 840 / 119 Регистрация: 10.11.2010 Сообщений: 1,630
	21.05.2013, 18:44	6
	Да, лохонулся... в числителе посчитал некоторые комбинации по несколько раз. Будем думать дальше... Добавлено через 45 минут ooo...o - это шары, их m. \|\|\|...\| - это перегородки ящиков, их M-1. Всего комбинаций без учёта повторений будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m+M-1}^{M-1}$ - количество способов расставить перегородки в множестве из шаров и перегородок. Хорошие комбинации - это такие что перегородка находится между шарами, а таких мест m-1. Количество способов расставить M-1 перегородку в m-1 место $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{m-1}^{M-1}$ . Значит: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{C_{m-1}^{M-1}}{C_{m+M-1}^{M-1}}$ . А в нашем случае: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=\frac{C_{m-1}^{M-1}}{C_{m+M-1}^{M-1}}$ . 0

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	21.05.2013, 20:10	7
	Шары в этой задаче обычно считаются различимыми. Вы решаете совсем другую задачу. 0

@skaa Хочу в Исландию 1041 / 840 / 119 Регистрация: 10.11.2010 Сообщений: 1,630
	21.05.2013, 21:17	8
	В условии не написано что шары различные. Да и если мы набросаем в ящики разных шаров или одинаковых, то вероятность того что ящики будут пустыми или полными от этого ведь не изменится? 0

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	22.05.2013, 22:08	9
	В условиях редко пишут такие вещи. Размеется, изменится. Смотря как бросать будете. Когда вы размещаете два шара по двум ящикам, сколько равновозможных расположений будет? 4 или 3? Вероятность увидеть два шара в первом ящике 1/4 или 1/3? Вероятности в случае, когда шары различимы, и когда нет, абсолютно разные. 0

zer0mail 2662 / 2237 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,138 Записей в блоге: 1
	22.05.2013, 22:22	10
	Сообщение от algebraist Смотря как бросать будете. Вот именно - зависит от как бросать, а не от различать шары или нет. Если два шара бросают независимо и случайно (а именно такой вариант наиболее вероятен), то 1-й 2-й Вероятность 12 0 1/4 1 2 1/4 2 1 1/4 0 12 1/4 Вероятность иметь в 1-м ящика 2 шара=1/4 и не зависит от того, различаем мы 2 и 3 строки или объединяем. В исходной задаче, если все шары бросаются случайно и независимо, неважно различаем мы шары или нет (просто используем удобный для подсчета способ). 1

	23.05.2013, 09:43

Опции темы

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	22.05.2013, 23:23	12
	zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно? В любом учебнике по элементарной комбинаторике, да плюс определение классической вероятности. В "решении" выше вероятность, которая у Вас равна 1/4, считается равной 1/3. Потому что равновозможных исходов - три: оба шара в первом ящике, оба во втором, либо по одному там и там. Ибо шары там не различаются. 0

zer0mail 2662 / 2237 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,138 Записей в блоге: 1
	22.05.2013, 23:25	13
	Сообщение от algebraist zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно? В "решении" выше вероятность, которая у Вас равна 1/4, считается равной 1/3. Потому что равновозможных исходов - три: оба шара в первом ящике, оба во втором, либо по одному там и там. Насмешил 0

zer0mail 2662 / 2237 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,138 Записей в блоге: 1
	23.05.2013, 08:41	17
	Сообщение от algebraist zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно? В любом учебнике по элементарной комбинаторике, да плюс определение классической вероятности. В "решении" выше вероятность, которая у Вас равна 1/4, считается равной 1/3. Потому что равновозможных исходов - три: оба шара в первом ящике, оба во втором, либо по одному там и там. Ибо шары там не различаются. Ссылку дайте на учебник и страницу. Интересно глянуть, где при раскладывании 2 шаров по 2 урнам "по-умолчанию" считают вероятности по 1/3. Применять для урн и шаров в теории вероятностей схему Бозе-Эйнштена - это абсурд. Не надо путать шары без номеров (и которые можно занумеровать) и элементарные частицы, которые нельзя занумеровать в принципе. Лучше уж вообще не знать (можно узнать, разобраться), чем применять знания не там, где надо 0

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	23.05.2013, 08:44	18
	Сообщение от zer0mail Применять для урн и шаров в теории вероятностей схему Бозе-Эйнштена - это абсурд. Ссылку дайте на учебник и страницу. Интересно глянуть, где при раскладывании 2 шаров по 2 урнам "по-умолчанию" считают вероятности по 1/3. Именно это я вторую страницу и пытаюсь до Вас и до авторов приведенных выше "решений" донести. Попробуйте перечитать ветку с начала. Может, и увидите, что именно в "решениях" выше вероятности и есть по 1/3. Извиняться, я так понимаю, не будете, а это воспринимать как слив? 0

zer0mail 2662 / 2237 / 240 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,138 Записей в блоге: 1
	23.05.2013, 09:37	19
	Я не про то, что пишут другие. Я про то, что Вы пишите мне: "zer0mail, почитайте на досуге про урновые схемы с различимыми и неразличимыми шарами, ладно?" в ответ на "В исходной задаче, если все шары бросаются случайно и независимо, неважно различаем мы шары или нет (просто используем удобный для подсчета способ)." Я хочу увидеть учебник по ТВ с этими самыми схемами с неразличимыми шарами. 0

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	23.05.2013, 09:43	20
	Например, 1-й том Феллера. 0