Радиус сходимости степенных рядов

@Andron58 · Регистрация: 22.09.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В задачнике Кудрявцева есть такой ряд:

И надо найти его радиус сходимости( в ответах он равен 1), но почему-то , считая по выделеннной формуле, у меня получается 0... В чем ошибаюсь?

@Том Ардер · 10.10.2016, 21:23

Комментарий модератора

Правила форума

4.7. Как можно более полно описывайте суть проблемы или вопроса, что было сделано для ее решения и какие результаты получены.

5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.

Задания и решения набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.

Рекомендации по созданию темы

@Andron58 · 11.10.2016, 20:24 **[ТС]**

вот сам ряд:
∞
∑n!z^(n!)
n=1

Добавлено через 2 минуты
Искал по формуле

R=предел|Cn/Cn+1|
n стремиться к бесконечности

@jogano · 11.10.2016, 21:28

Вы попытались применить формулу для радиуса сходимости формально. Но у вас же ряд не такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{+\infty}n! z^n$ . Он-то, конечно, степенной, но показатель степени не n.
Если вникнуть в суть формулы для R, то должен существовать предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho <1$ , чтобы члены вашего ряда можно было сравнивать с геометрической прогрессией - чтобы для достаточно больших n ваш ряд вёл бы себя как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?...+a_n+a_n\rho +a_n\rho ^2+...$ . Тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<\rho <1$ , то ряд сходится, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho >1$ , то расходится.
Для того степенного ряда, который в учебнике, это предел равен
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_{n+1}z^{n+1}}{c_nz^n} \right|=\left|z \right|\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right|<1 \: \Rightarrow \: \left|z \right|<\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$
Вот откуда берётся формула для R, которую вы пытались применить.
Вот сделайте то же самое для вашего ряда, и получите 1.

@Andron58 2 / 2 / 0 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 58
		1
	Радиус сходимости степенных рядов 10.10.2016, 20:40. Показов 1505. Ответов 3 Метки нет (Все метки) В задачнике Кудрявцева есть такой ряд: И надо найти его радиус сходимости( в ответах он равен 1), но почему-то , считая по выделеннной формуле, у меня получается 0... В чем ошибаюсь? 0

@Andron58 2 / 2 / 0 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 58
	11.10.2016, 20:24 [ТС]	3
	вот сам ряд: ∞ ∑n!z^(n!) n=1 Добавлено через 2 минуты Искал по формуле R=предел\|Cn/Cn+1\| n стремиться к бесконечности 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	11.10.2016, 21:28	4
	Сообщение было отмечено Andron58 как решение Решение Вы попытались применить формулу для радиуса сходимости формально. Но у вас же ряд не такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{+\infty}n! z^n$ . Он-то, конечно, степенной, но показатель степени не n. Если вникнуть в суть формулы для R, то должен существовать предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|=\rho <1$ , чтобы члены вашего ряда можно было сравнивать с геометрической прогрессией - чтобы для достаточно больших n ваш ряд вёл бы себя как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?...+a_n+a_n\rho +a_n\rho ^2+...$ . Тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<\rho <1$ , то ряд сходится, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho >1$ , то расходится. Для того степенного ряда, который в учебнике, это предел равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_{n+1}z^{n+1}}{c_nz^n} \right\|=\left\|z \right\|\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right\|<1 \: \Rightarrow \: \left\|z \right\|<\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_n}{c_{n+1}} \right\|$ Вот откуда берётся формула для R, которую вы пытались применить. Вот сделайте то же самое для вашего ряда, и получите 1. 1

Радиус сходимости степенных рядов

Решение