Посчитать логарифм с комплексным числом

@Libiroo · Регистрация: 25.09.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, подскажите, как посчитать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ln(1-i)=$

@cmath · 25.12.2012, 16:42

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-i=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}*e^{\frac{i\pi}{4}}=e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ln (e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}})=\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}+i2\pi k=\frac{1}{2}\ln 2+i(\frac{\pi}{4}+2\pi k),\;k\in \mathbb{Z}$

@Libiroo · 25.12.2012, 17:01 **[ТС]**

А можете объяснить, как это делать? Или мануал дать почитать. Мне хочется разобраться в этом.

@cmath · 25.12.2012, 17:09

Сообщение от Libiroo

область аналит.?

2)Расширенная комплексная плоскость без нуля
3)Подынтегральная функция удовлетворяет условию Коши-Римана. Поэтому можно использовать для этого интеграла формулу Ньютона-Лейбница.
4)Сходится. Сравните с рядом Дирихле p=2.
5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^2\sin z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^{2n+3}}{(2n+1)!}$
P.S. Вы нарушили правило 5.16 форума и ошиблись разделом.

@Libiroo · 25.12.2012, 20:05 **[ТС]**

cmath, Я ошибся темой и опубликовал не туда. Сразу потер, извиняюсь. Благодарю вас за овтет к потертому сообщению, мне это поможет. Отписал вам в личку.

Добавлено через 2 часа 52 минуты

Сообщение от cmath

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-i=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}*e^{\frac{i\pi}{4}}=e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ln (e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}})=\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}+i2\pi k=\frac{1}{2}\ln 2+i(\frac{\pi}{4}+2\pi k),\;k\in \mathbb{Z}$

Пожалуйста, дайте объяснение, как вы это решили. Или материал почитать. Буду очень признателен.

@sova_f · 25.12.2012, 23:35

http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число
см Тригонометрическая и показательная формы
1-i записано в показательной форме, подставлено в данное выражение, далее смотрим что есть натуральный логарифм ln и как он связан с экспонентой и сразу все становится понятно.

Добавлено через 1 минуту
Почитать - например, Свешников ТФКП

Добавлено через 39 секунд
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 14-15.

@Libiroo · 26.12.2012, 00:04 **[ТС]**

Вроде более менее разобрался, вот только не пойму момента первого равно.
Показательная форма комплексного числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=r{e}^{-i\varphi }$
Если я правильно понял, в нашем случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=1-i$ ?

Тогда не совсем понимаю, откуда берется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ ..

@cmath · 26.12.2012, 03:06

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=x+iy\Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}=r\\z=1-i\Rightarrow |z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
И еще я там ошибку допустил:
аргумент z равен -п/4, а не п/4. Учтите.

@Libiroo · 26.12.2012, 10:57 **[ТС]**

Сообщение от cmath

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=x+iy\Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}=r\\z=1-i\Rightarrow |z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
И еще я там ошибку допустил:
аргумент z равен -п/4, а не п/4. Учтите.

Спасибо большое за объяснения, насчет минуса мне уже подсказали и я поправил. Получается нужно везде просто проставить минус перед п/4.

@Libiroo 2 / 2 / 1 Регистрация: 25.09.2011 Сообщений: 88
		1
	Посчитать логарифм с комплексным числом 25.12.2012, 16:27. Показов 5925. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Здравствуйте, подскажите, как посчитать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ln(1-i)=$ 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	25.12.2012, 16:42	2
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-i=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}*e^{\frac{i\pi}{4}}=e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ln (e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}})=\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}+i2\pi k=\frac{1}{2}\ln 2+i(\frac{\pi}{4}+2\pi k),\;k\in \mathbb{Z}$ 1

@Libiroo 2 / 2 / 1 Регистрация: 25.09.2011 Сообщений: 88
	25.12.2012, 17:01 [ТС]	3
	А можете объяснить, как это делать? Или мануал дать почитать. Мне хочется разобраться в этом. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	25.12.2012, 17:09	4
	Сообщение от Libiroo область аналит.? 2)Расширенная комплексная плоскость без нуля 3)Подынтегральная функция удовлетворяет условию Коши-Римана. Поэтому можно использовать для этого интеграла формулу Ньютона-Лейбница. 4)Сходится. Сравните с рядом Дирихле p=2. 5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^2\sin z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nz^{2n+3}}{(2n+1)!}$ P.S. Вы нарушили правило 5.16 форума и ошиблись разделом. 1

@Libiroo 2 / 2 / 1 Регистрация: 25.09.2011 Сообщений: 88
	25.12.2012, 20:05 [ТС]	5
	cmath, Я ошибся темой и опубликовал не туда. Сразу потер, извиняюсь. Благодарю вас за овтет к потертому сообщению, мне это поможет. Отписал вам в личку. Добавлено через 2 часа 52 минуты Сообщение от cmath $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-i=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}*e^{\frac{i\pi}{4}}=e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Ln (e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}})=\ln e^{\frac{1}{2}\ln 2+\frac{i\pi}{4}}+i2\pi k=\frac{1}{2}\ln 2+i(\frac{\pi}{4}+2\pi k),\;k\in \mathbb{Z}$ Пожалуйста, дайте объяснение, как вы это решили. Или материал почитать. Буду очень признателен. 0

@sova_f 301 / 214 / 7 Регистрация: 16.10.2012 Сообщений: 485
	25.12.2012, 23:35	6
	http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число см Тригонометрическая и показательная формы 1-i записано в показательной форме, подставлено в данное выражение, далее смотрим что есть натуральный логарифм ln и как он связан с экспонентой и сразу все становится понятно. Добавлено через 1 минуту Почитать - например, Свешников ТФКП Добавлено через 39 секунд Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 14-15. 2

@Libiroo 2 / 2 / 1 Регистрация: 25.09.2011 Сообщений: 88
	26.12.2012, 00:04 [ТС]	7
	Вроде более менее разобрался, вот только не пойму момента первого равно. Показательная форма комплексного числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=r{e}^{-i\varphi }$ Если я правильно понял, в нашем случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=1-i$ ? Тогда не совсем понимаю, откуда берется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{2}$ .. 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	26.12.2012, 03:06	8
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=x+iy\Rightarrow \|z\|=\sqrt{x^2+y^2}=r\\z=1-i\Rightarrow \|z\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ И еще я там ошибку допустил: аргумент z равен -п/4, а не п/4. Учтите. 1

@Libiroo 2 / 2 / 1 Регистрация: 25.09.2011 Сообщений: 88
	26.12.2012, 10:57 [ТС]	9
	Сообщение от cmath $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=x+iy\Rightarrow \|z\|=\sqrt{x^2+y^2}=r\\z=1-i\Rightarrow \|z\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ И еще я там ошибку допустил: аргумент z равен -п/4, а не п/4. Учтите. Спасибо большое за объяснения, насчет минуса мне уже подсказали и я поправил. Получается нужно везде просто проставить минус перед п/4. 0