Вычисление суммы ряда с факториалом

01.04.2014, 21:21. **Показов** 4457. **Ответов** 1

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Написать программу, вычисляющую сумму ряда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_{i=0}^{\infty } a_i(x)$

с точностью до 0.001 и сравнивающую полученный результат с точным значением суммы (аналитическое выражение суммы и значение x, для которого его необходимо вычислить, задано). Вычисления должны быть организованы при помощи любого из трех видов оператора повтора (цикла). Ввод значения x - с клавиатуры. На печать вывести значение x, соответствующие ему приближенное и точное значение суммы ряда, количество повторов, при котором была достигнута требуемая точность.
Формула общего члена ряда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_i(x)=(-1)^{i+2}\cdot \left( \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)! \right)$

x=0.345

Аналитическое выражение: SinX

Я никак не могу разобраться с факториалом. Что это такое знаю, но как написать код к этой скобке без понятия. Помогите разобраться

@Cyborg Drone · 02.04.2014, 02:57

Не по теме:

Никто Вам так и не ответил. Знаете, я как-то даже рад этому, потому что хочу ответить поподробнее.

Лирическое отступление.

x^(a+b) = x^ax^b... Кгхм... Ничего не стану объяснять.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n,$

а, например,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n+2)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n\cdot (n+1)\cdot (n+2)=(n+1)\cdot (n+2)\cdot n!$

Факториал числа на два болшего - (n+2)! -, ясен пень, n! домножить на (n+1) и на (n+2). Как правило, в большинстве задач, можно обойтись без вычисления факториала непосредственно. Для справки, если без премудростей, то n! на паскале вычисляется, например, так:

Pascal

1 2	f := 1; for i := 2 to n do f := f * i;

Преступим. Для начала нужно найти рекуррентное соотношение для членов ряда.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_0(x)=(-1)^{0+2}\cdot \left( \frac{x^{2\cdot 0+1}}{(2\cdot 0+1)!} \right)=x$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_i(x)=(-1)^{i+2}\cdot \left( \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} \right)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{(i+1)}(x)=(-1)^{((i+1)+2)}\cdot \left( \frac{x^{(2(i+1)+1)}}{(2(i+1)+1)!}\right) =(-1)^{i+3}\cdot \left( \frac{x^{2i+3}}{(2i+3)!}\right) =\\=(-1)(-1)^{i+2}\cdot \left( \frac{x^2x^{2i+1}}{(2i+2)(2i+3)(2i+1)!}\right) = \frac{-x^2}{(2i+2)(2i+3)}\cdot a_i$

Последующий член выражен через предыдующий, рекуррентное соотношение найдено. И первый член уже есть. По последней формуле, следовательно, можно вычислить второй член, затем из второго - третий, и так далее. Как видите, в окончательном решении от факториала почти что камня на камне не осталось. К слову, и от x²ⁿ⁺¹ тоже. Пишем программу.

Pascal

const e = 0.001; //если точность будет вводиться, эту строку убрать
var i: longint;
    x, a, s: double;
    //e: real //если точность будет вводиться, эту строку добавить
begin
  //write('Точность = '); //если точность будет вводиться, эту строку добавить
  //readln(e); //если точность будет вводиться, эту строку добавить
  //e := abs(e); //а эту можно и вовсе никогда не писать
  write('x = '); //ввод x
  readln(x);
  x := frac(x / 2 / pi) * 2 * pi; //та самая специальная мера, приведение к +-2pi, можно убрать
  a := x; //пока имеем a(0)
  s := 0; //пока сумма ряда равна 0
  i := 0; //номер начального члена ряда
  while abs(a) > e do //цикл, пока точность не больше очередного члена ряда
    begin
      s := s + a; //суммируем ряд
      a := -a * x * x / (2 * i + 2) / (2 * i + 3); //следующий член ряда
      inc(i) //следующий номер члена ряда
    end; //конец цикла
  writeln('Точность = ', e:0:10, ',  количество повторов = ', i - 1, '.');
  writeln('sin(x) = ', s:0:10, ',  вычисление с помощью ряда Тейлора.');
  writeln('sin(x) = ', sin(x):0:10, ',  всроенная функция.');
  readln
end.

При |x| > 33 без специальных мер программа начинает безбожно врать из-за ошибок округления в операциях с плавающей точкой. Ну, то ж поделаешь, не применять же длинную арифметику. Но можно применить специальную меру, помня, что sin(x ± 2*pi*k) = sin(x). Ошибки получаются меньше.
Ещё большей точности можно добиться, оперируя только диапазоном x Є [0..pi/2] (четвертью периода), но это менее наглядно и возиться неохота.

Всего Вам доброго.

moralkill
		1
	Вычисление суммы ряда с факториалом 01.04.2014, 21:21. Показов 4457. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Написать программу, вычисляющую сумму ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_{i=0}^{\infty } a_i(x)$ с точностью до 0.001 и сравнивающую полученный результат с точным значением суммы (аналитическое выражение суммы и значение x, для которого его необходимо вычислить, задано). Вычисления должны быть организованы при помощи любого из трех видов оператора повтора (цикла). Ввод значения x - с клавиатуры. На печать вывести значение x, соответствующие ему приближенное и точное значение суммы ряда, количество повторов, при котором была достигнута требуемая точность. Формула общего члена ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_i(x)=(-1)^{i+2}\cdot \left( \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)! \right)$ x=0.345 Аналитическое выражение: SinX Я никак не могу разобраться с факториалом. Что это такое знаю, но как написать код к этой скобке без понятия. Помогите разобраться

	02.04.2014, 02:57

Вычисление суммы ряда с факториалом

Решение