Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.51/47: Рейтинг темы: голосов - 47, средняя оценка - 4.51
17 / 17 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 740
1

Найти базисные векторы системы и выразить остальные векторы через базисные

07.04.2014, 05:52. Показов 8584. Ответов 18
Метки нет (Все метки)

Привет всем. Задание такое: найти базисные векторы системы и выразить остальные векторы через базисные.
Вот векторы-строки:
12, 5, 0
15, 1, -4
5, -3, -4
20, 3, -4
-6, -5, -2
Составил матрицу, привел ее к ступенчатому виду. Получилось вот так:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Ранг матрицы 3. Система линейно независима. Что мне делать дальше? Я так понимаю, что первые три вектора базисные. А как выразить остальные 2 через них?
0
Лучшие ответы (1)
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
07.04.2014, 05:52
Ответы с готовыми решениями:

Найти какую-нибудь МЛНС системы векторов и выразить через нее остальные векторы системы
Найти какую-нибудь МЛНС системы векторов и выразить через нее остальные векторы системы:...

Как выразить базисные переменные относительно свободных?
То есть, решить систему относительно базисных переменных. Допустим, есть у нас СЛАУ (взял из...

Найти методом Гаусса базисные решения
Здравствуйте.Сам метод знаю,умею решать линейные уравнения,но как решить данное задание,я не знаю....

Найти фундаментальную систему решений однородной системы и выразить через нее общее решение этой системы
Найти фундаментальную систему решений однородной системы и выразить через нее общее решение этой...

__________________
18
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
07.04.2014, 08:03 2
Не, это совсем неправильно. Вы же систему меняли: складывали свои вектора, умножали там. Получилась совершенно другая система.

Ставьте векторы в столбцы. В линейной алгебре они практически всегда в столбцах. А потом применяйте преобразования строк. Так векторы не перемешиваются друг с другом - фактически столбцы получающихся матриц будут координатами тех же векторов в других базисах. Когда приведёте к такой же красивой ступенчатой форме, ответ будет очевиден.
0
2546 / 1640 / 149
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,619
07.04.2014, 13:23 3
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Не, это совсем неправильно
Прям уж и совсем?
Ранг матрицы 3, и этого факта не изменить никакими ухищрениями.
Как вариант, за базис можно взять три первых вектора и этого факта не изменить... ну и так далее.
Мнэээ... Кстати говоря, куда ТС заныкал пятый вектор? В приличном обществе за такое — канделябром!
Если отследить преобразования, получим выражение векторов (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) через первые три. Выражаем через единичные очевидным образом оставшиеся два, подставляем — вуаля.
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
07.04.2014, 15:15 4
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Как вариант, за базис можно взять три первых вектора и этого факта не изменить... ну и так далее.
А откуда вы знаете, что-то сами посчитали? На глаз этого не видно, а приведённое преобразование не может привести к такому выводу.

Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Если отследить преобразования, получим выражение векторов (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) через первые три. Выражаем через единичные очевидным образом оставшиеся два, подставляем — вуаля.
Мсьё знает толк... Главное, чтобы там строки не переставлялись, а то может единичные не через первые три выражаются.

Sh@dow777, не морочьте голову, делайте, как вам Гельтер говорит.
0
2546 / 1640 / 149
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,619
08.04.2014, 10:12 5
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
А откуда вы знаете, что-то сами посчитали?
Нет. Доверяю ТС. Ему это нужнее
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Мсьё знает толк...
О! Месье тринадцать лет преподавал извращения в Академии извращений!
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Главное, чтобы там строки не переставлялись
А вот это да, мой грех. Упустил. Действительно, перемещения строк, буде таковые использовались, надобно отслеживать отдельно.
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Sh@dow777, не морочьте голову, делайте, как вам Гельтер говорит
Дельный совет, наверное. Хоть и не уверен, кто именно и кому морочит голову
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
08.04.2014, 13:02 6
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Нет. Доверяю ТС. Ему это нужнее
Из выкладок ТС никак не следует, что первые три вектора линейно независимы.
0
2546 / 1640 / 149
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,619
08.04.2014, 15:09 7
Напоминаю: ранг матрицы одинаков что по строкам, что в профиль по столбцам.
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
08.04.2014, 17:08 8
Не о ранге речь, а о линейно независимых векторах. Если вы возьмёте в R^n любую систему из m > n векторов ранга n и запишете их в строки, то элементарными преобразованиями вы приведёте её к матрице единичная, а под ней нулевая. Естественно, никак нельзя сделать вывод, что первые n векторов исходной системы линейно независимы.

Это всё ерунда.

Вы мне вот что скажите, раз у вас такой опыт преподавания. В Проскурякове есть несколько задач с формулировкой "найдите все базы системы векторов". Вы не знаете какого-нибудь способа решения этой задачи, более интеллектуального, чем перебирать https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\binom{k}{r} подсистем и проверять для каждой линейную независимость?
0
17 / 17 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 740
09.04.2014, 02:32  [ТС] 9
helter, в общем я поставил векторы в столбцы. у меня получилась такая матрица.
12 15 5 20 -6
5 1 -3 3 -5
0 -4 -4 -4 -2
После решения у меня получилось так.
1 0 0 5/12 -179/168
0 1 0 3/2 10/21
0 0 1 -2/4 -3/4
Коэффициенты,на мой взгляд подозрительные. Что мне делать дальше? Теорию я знаю, но как мне на практике определить, какие векторы базисные?
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
09.04.2014, 03:38 10
Лучший ответ Сообщение было отмечено Sh@dow777 как решение

Решение

Цитата Сообщение от Sh@dow777 Посмотреть сообщение
Коэффициенты,на мой взгляд подозрительные.
Ага, вы неправильно считали. Говорю же: пишите программы (на лиспе! ) или осваивайте CAS. Нехай компьютер считает.

Я прикинул, вроде получается
1 0 0 0 -1/2
0 1 0 3/2 -1/4
0 0 1 -1/2 3/4

Теперь фокус. Что вы знаете теорию, это очень хорошо. Если знаете, что такое базис пространства и как от одного базиса переходят к другому - вообще замечательно.

Через базисы пространства понять очень просто.

Если есть базис, каждый вектор получает набор чисел - координаты. Вроде вектор как человек, а координаты как костюм. Базисов в пространстве много, и в разном базисе вектор имеет разные координаты. Вроде как человек один и тот же, а костюмы разные.

Когда вы применяете к строкам элементарные преобразования, это можно рассматривать как переход к новому базису. При этом векторы получают новые координаты. Итого - вы видите перед собой те же самые векторы, но в других костюмах.

Однако костюм костюму рознь. По изначальным числам ничего не понятно. А по ступенчатой матрице - всё понятно. Во-первых, невооружённым видно, что первые три вектора образуют базис, потому что ненулевой минор максимального порядка. Во-вторых, даже невооружённым взглядом видны выражения остальных векторов через первые три. Например,
<четвёртый столбец> = 0 * <первый столбец> + 3/2 * <второй столбец> - 1/2 * <третий столбец>
Совершенно очевидно. Однако действия над координатами соответствуют действиям над векторами, поэтому
a4 = 3/2 a2 - 1/2 a3
если изначальные векторы обозначить a1 и т. д. Это с самими векторами, поэтому в координатах в любом базисе получается это соотношение. Можете проверить для исходных:
3/2 (15, 1, -4) - 1/2 (5, -3, -4) = (20, 3, -4)
Ну и с остальными так.
2
2546 / 1640 / 149
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,619
09.04.2014, 03:42 11
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Если вы возьмёте в R^n любую систему из m > n векторов ранга n и запишете их в строки, то элементарными преобразованиями вы приведёте её к матрице единичная, а под ней нулевая. Естественно, никак нельзя сделать вывод, что первые n векторов исходной системы линейно независимы.
Про перестановки строк я уже признал, а если их не было, то таки можно, как же иначе?
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
раз у вас такой опыт преподавания
Ну, вы, надеюсь, не решили, что я действительно кому-то что-то преподавал?
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
более интеллектуального, чем перебирать https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\binom{k}{r} подсистем и проверять для каждой линейную независимость
Сильно более интеллектуального вообще сомневаюсь, что есть. Берём систему https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1,1), (1,2), \dots (1,n). В ней именно https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left({k\atop r}\right) возможных базисов — стало быть, максимум таки достигается. Можно попробовать наращивать базисы по одному — берём все линейно независимые пары векторов, пытаемся добавить до трёх и т.п. Если предварительно вычислить ранг, можно попробовать замутить аналог быстрого возведения в степень: скажем, если знаем, что ранг 10, выбираем пары, комбинируем непересекающиеся пары — получаем четвёрки, добавляем к ним вектор — получаем пятёрки и снова комбинируем парами — получаем десятки.

Добавлено через 2 минуты
Памяти, правда, таки да, уйдёт немеряно.

Добавлено через 1 минуту
Ну, можно попробовать ещё перебор с заменой одного вектора — проверка линейной независимости должна б быть попроще.
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
09.04.2014, 03:45 12
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Ну, вы, надеюсь, не решили, что я действительно кому-то что-то преподавал?
Ну, алгебру может...

Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
комбинируем непересекающиеся пары — получаем четвёрки
Один вектор второй пары может линейно выражаться через векторы первой пары...

Ну, в общем, понятно. Мне кажется, Проскуряков тоже ничего существенно более хитроумного, чем брутфорс, не предполагал.
0
2546 / 1640 / 149
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,619
09.04.2014, 06:51 13
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Ну, алгебру может...
Не, бог миловал
Цитата Сообщение от helter Посмотреть сообщение
Один вектор второй пары может линейно выражаться через векторы первой пары
Естественно, с проверкой. Фокус (не факт, что серьёзный, фанкт, что иногда совсем несерьёзный) только в том, что если пара линейно зависима, то её из рассмотрения исключаем. Если зависима четвёрка, то присобачивать к ней пятый не пытаемся.
0
17 / 17 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 740
09.04.2014, 19:30  [ТС] 14
helter, Спасибо за такой подробный ответ. Сразу все стало понятно. То есть правильно ли я понимаю, что a5 = -1/2a1 - 1/4a2 + 3/4a3?
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
09.04.2014, 19:52 15
Ну, вроде да, если я правильно посчитал. Можно легко проверить, подставив исходные числа.
1
17 / 17 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 740
09.04.2014, 20:07  [ТС] 16
helter, Все подходит. Еще раз большое спасибо
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
09.04.2014, 20:11 17
Не за что, пишите ещё.
0
17 / 17 / 6
Регистрация: 10.12.2013
Сообщений: 740
10.04.2014, 00:25  [ТС] 18
helter, А вот у меня возник еще один вопрос. Если мы приводим любую матрицу к ступенчатому виду, то получается, что всегда первые три вектора системы базисные?

Добавлено через 2 часа 47 минут
Моя мысль опроверглась при следующем же примере. Получилась матрица:
1 0 -1/4 0
0 1 -5/4 0
0 0 0 1
0 0 0 0
В этом случае получается, что a1, a2, a4 - базисные вектора, а a3 выражается через первые два.
0
4343 / 3350 / 342
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,838
10.04.2014, 01:47 19
1
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
10.04.2014, 01:47

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные работы и диссертации здесь.

Какие векторы из данной системы
Какие векторы из данной системы (1,0,0), (1,2,2), (0,0,1) принадлежат линейной оболочке &lt;...

При каком значении лямбда вектор выражается через векторы
При каком значении \lambda вектор \vec{b}(2,\lambda,-1) выражается через векторы \vec{a_1}(2,-1,4)...

Надо найти все векторы
Помогите решить, ато у меня самого не получается

Найти собственные значения и векторы матрицы
Для матрицы &quot;А&quot; найти собственные значения и собственные векторы. Сделать проверки. (Указание:...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
19
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.