Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
 
Рейтинг 4.80/56: Рейтинг темы: голосов - 56, средняя оценка - 4.80
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
1

Найти базис суммы и пересечения подпространств

11.05.2015, 19:24. Показов 11620. Ответов 32
Метки нет (Все метки)

Проболела. Пришла - контрольная. Моя не понимать.
Пожалуйста, помогите. Если еще и ответите на возникающие вопросы буду очень благодарна. Могу выслать шоколадку)
Непонятно, что за линейные оболочки и как мне их найти, если задано не через них.
__________________
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь
0
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
11.05.2015, 19:24
Ответы с готовыми решениями:

Найти базис суммы и пересечения подпространств
Найти базис суммы и пересечения подпространств {L}_{1}, порожденного векторами...

Найти базис пересечения и суммы подпространств
Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой пожалуйста. Дано подпространство P заданное линейной...

Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств.
Кому не лень, прошу решить небольшую лабораторную по данной теме, можно отдельные задания...

Найти базис суммы и пересечения подпространств натянутые на на заданные системы векторов
Подпространство L1 порождают векторы x1=(-1,1,0,0) x2=(1,-1,1,1) x3=(1,0,1,2) x4=(0,1,1,1);...

32
Модератор
Эксперт по математике/физике
4860 / 3720 / 1273
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 10,708
11.05.2015, 19:25 2
Cradle, размещение задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом - запрещено Правилами форума (5.18). Задания и решения надо перепечатывать на форум (для набора формул есть встроенный редактор).
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
11.05.2015, 19:30  [ТС] 3
Прошу прощения.
г) Подпространство L1 пространства R5 задано однородной системой уравнений:
L1 = {x1 − x2 = x2 + 3x3 − x5 = 2x1 + x2 − x3 = 0}.

Подпространство L2 пространства R5 порождено векторами
b1 = (−1, 2, 0, 1, −2), b2 = (0, −3, 5, 1, 1), b3 = (1, 4, −2, 1, 9).

Найдите базис суммы L1 + L2 этих подпространств

г) Подпространство L1 пространства R5 задано однородной системой уравнений:
L1 = {6x1 + 13x2 + 3x3 = 2x1 + 6x2 + x4 = 0},

а подпространство L2 порождено векторами b1 = (1, 0, 0, 1), b2 = (−2, 1, 1, 0), b3 = (0, 3, 2, 1).

Найдите базис пересечения L1 ∩ L2 этих подпространств.
0
2598 / 1674 / 160
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,797
11.05.2015, 20:35 4
Вопрос-то в чём? Что такое линейная оболочка? Линейная оболочка системы векторов — это всевозможные линейные комбинации оных векторов.
Сумму подпространств удобнее искать по наборам порождающих векторов. Объединисть и сократить до базиса.
Пересечение подпространств удобнее искать по однородным системам: объединить и исключить лишние.
В первой задаче нужно перейти от однородной системы к базису подпространства: преобразовать по Гауссу к треугольной, вычеркнуть (буде появятся) нулевые строки, перенести часть переменных направо, объявить их свободныит, взять наборы значений свободных (1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., посчитать соответствующие зависимые — вот и базис.
Во второй задаче надо перейти от базиса к системе уравнений. Вводим скалярное произведение стандартным образом, ищем перпендикулярное пространство, записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.
Как-то вот так.
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
11.05.2015, 21:20  [ТС] 5
По первому. Нашла базис L1 по Гаусса, нашла ранг. То же самое с L2. Дальше не понял.
0
2598 / 1674 / 160
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,797
12.05.2015, 07:12 6
Прекрасно. Теперь выписывай их один под другим в единую матрицу (по строкам, в смысле, каждая строка — один вектор) и Гауссом же исключай лишние.
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
12.05.2015, 18:03  [ТС] 7
Поняла! Сделаю по Гаусса, решу как обычно. Это и будет базис суммы.
***
Вводим скалярное произведение стандартным образом, ищем перпендикулярное пространство, записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.
Не понял. Поясните пожалуйста
0
2598 / 1674 / 160
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,797
12.05.2015, 18:44 8
Цитата Сообщение от Cradle Посмотреть сообщение
решу как обычно
Не, решать не надо. Надо привести к треугольному виду и ненулевые строки — это как раз строки базиса в исходной матрице, понимаешь? К примеру, если в матрице остались первая, вторая, третья нулевая, четвёртая нет, пятая и шестая нулевые, то базисом будут первый, второй и четвёртый вектора.
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Вводим скалярное произведение стандартным образом
Не понял, и не надо. Способ нехорош тем, что приходится вводить скалярное произведение. Должен быть нормальный. Пошёл думать.
1
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
12.05.2015, 18:48  [ТС] 9
Хм. А базис Л1,Л2 так же нужно находить? Я сначала матрицу приводила к треугольному виду, потом из оставшихся ненулевых строк составляла систему уравнений и частное решение системы через 0/1 на свободных брала за базис.

Спасибо, что помогаете
0
2598 / 1674 / 160
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,797
12.05.2015, 21:04 10
Цитата Сообщение от Cradle Посмотреть сообщение
А базис Л1,Л2 так же нужно находить?
О чём конкретно речь? Если у нас есть система уравнений, задающая линейное подпространство, то для нахождения базиса её надо решить. Если нам дан набор векторов, порождающих подпространство, и надо выделить из него базис, то решать ничего не надо. Просто записываем матрицу, методом Гаусса приводим её к треугольному виду и оставляем только те вектора, из которых были составлены строки, оставшиеся ненулевыми.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
12.05.2015, 21:27  [ТС] 11
А, спасибо). Я оба варианта сделала с нахождением базиса, как на систему уравнений.
***
А про второе уже можете что-то сказать?
0
1129 / 788 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012
12.05.2015, 21:50 12
Цитата Сообщение от Cradle Посмотреть сообщение
А про второе уже можете что-то сказать?
Если L2 задано системой уравненений. Тогда объединение множества уравнений для L1 и уравнений для L2 задаёт пересечение L1 ∩ L2.

Таким образом, можно сначала найти для L2 систему уравнений.

Добавлено через 3 минуты
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Во второй задаче надо перейти от базиса к системе уравнений. Вводим скалярное произведение стандартным образом, ищем перпендикулярное пространство, записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.
Как-то вот так.
Впрочем, iiflat, это уже написал.
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
12.05.2015, 22:07  [ТС] 13
Не понял. Т.е. нужно через систему Гаусса привести матрицу к ненулевым строкам и найти систему уравнений и уже найти базис этой системы, как базис Л2?
0
4441 / 3442 / 349
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 5,926
13.05.2015, 01:29 14
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
Не понял, и не надо. Способ нехорош тем, что приходится вводить скалярное произведение. Должен быть нормальный. Пошёл думать.
Я думаю, по вычислениям это и есть нормальный. А трактовать его можно и без скалярного произведения, через спаривание.
0
2598 / 1674 / 160
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,797
13.05.2015, 04:57 15
Цитата Сообщение от Cradle Посмотреть сообщение
Не понял. Поясните пожалуйста
Ну хорошо, с какого именно места не понял? Про скалярное произведение и его свойства знаешь?
0
0 / 0 / 0
Регистрация: 03.04.2015
Сообщений: 39
13.05.2015, 13:07  [ТС] 16
Во второй задаче надо перейти от базиса к системе уравнений.
Понял
Вводим скалярное произведение стандартным образом,
Не понял. Про скалярное знаю, но как вводить и что значит стандартным образом - не знаю.
ищем перпендикулярное пространство,
Не понял. Вообще не сталкивалась, или это транспонирование?
записываем перепендикулярность в виде системы уравнений.
Понял
0
2598 / 1674 / 160
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,797
13.05.2015, 16:18 17
Цитата Сообщение от Cradle Посмотреть сообщение
но как вводить и что значит стандартным образом - не знаю
А про то, что скалярное произведение можно ввести кучей разных способов, знаешь? Стандартный — ну, может, я зря так выразился. В общем, https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1, x_2, \dots,x_n)\cdot(y_1, y_2, \dots,y_n)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
ищем перпендикулярное пространство
Ну, есть у нас подпространство https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L. Перпендикулярное подпространство https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^\bot — множество векторов, перпендикулярных любому вектору из https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L. Легко доказать, что это множество — действительно подпространство, причём, зная базис https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L, легко написать определение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^\bot в виде системы. Потом из системы находим базис https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^\bot и, зная его — определение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L в виде системы.
Только не стоит всего этого делать Я сообразил.
Возьмём для примера два вектора https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e_1=(1,0,1) и https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e_2=(0,1,2) и попробуем вывести из этого определение натянутого на них подпространства в виде системы.
Наше подпространство состоит из всевозможных векторов вида https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha_1e_1+\alpha_2e_2. Чтобы проверить, относится ли наш вектор https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x к подпространству, надо решить систему
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br />
\begin{cases}\alpha_1&&&=&x_1\\&&\alpha_2&=&x_2\\\alpha_1&+&2\alpha_2&=&x_3\end{cases}\ \left|\ \begin{cases}\alpha_1&&&=&x_1\\&&\alpha_2&=&x_2\\\0&&&=&x_3-x_1-2x_2\end{cases}\right.<br />
Второе получено из первого Гауссом. Третья строчка — как раз уравнение, которое задаёт наше подпространство.

Добавлено через 6 минут
Забыл добавить: первая система составлена из базисных векторов по столбцам.
0
Эксперт по математике/физике
3913 / 2903 / 881
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,018
13.05.2015, 16:27 18
По поводу базиса пересечения. Не требуется никакого спаривания или скалярного произведения для решения таких задач. Достаточно знать базисы подпространств и умения решать системы. В данном конкретном случае задача простая, так как первое подпространство одномерно и его базис - это вектор а=(1,0,-2,-2). Понятно, что дальше просто.

Если а1, ..., аk; b1, ..., bl - базисы подпространств, то для вычисления базиса пересечения необходимо найти ФСР системы линейных уравнений от k+l неизвестных
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1a_1+\ldots+x_ka_k=y_1b_1+\ldots+y_lb_l.
Затем использовать или иксы или игреки.
1
2598 / 1674 / 160
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 4,797
13.05.2015, 16:53 19
ФСР — это кто? Не помню такого сокращения.
В принципе да, но базис-то, базис либо систему из твоей как найти? Напоминаю: решения её — не координаты вектора!
0
Эксперт по математике/физике
3913 / 2903 / 881
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,018
13.05.2015, 17:12 20
Цитата Сообщение от iifat Посмотреть сообщение
ФСР — это кто?
Фундаментальная система решений - базис пространства решений. Это конечно, не координаты векторов. Координаты получатся, когда будем подставлять найденные решения в левую скажем часть. Обратите внимание, что эта система задает как раз общие векторы наших подпространств.
0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
13.05.2015, 17:12

Вычислить размерность и базис суммы и размерность пересечения подпространств
Объясните пожалуйста как найти :размерность и базис суммы и размерность пересечения подпространств ...

Найти базисы суммы и пересечения подпространств
Найти базисы суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов a1 = (1,2,1) a2 =...

Найти базисы суммы и пересечения подпространств
Lin((1,-3,9,-27),(-3,-1,1,3),(1,3,6,10)) и Lin((2,2,2,2),(1,-2,4,-8)) Подскажите или покажите как...

Найти размерность суммы и пересечения подпространств порожденного векторами
Найти размерность суммы и пересечения подпространств L1 и L2 порожденного векторами a1,a2,a3 и...

Базис суммы подпространств
Здравствуйте. Как найти базис суммы подпространств, заданных линейными уравнениями? Например,...

Найдите базис суммы подпространств
Подпространство L1 пространства R5 задано однородной системой уравнений: L1 = {−3x1 + x2 +...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
20
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2022, CyberForum.ru