15 / 15 / 3
Регистрация: 04.02.2013
Сообщений: 124
1

Разностные уравнения

24.05.2015, 17:51. Показов 429. Ответов 6
Метки нет (Все метки)

Всем привет! Не могу решить разностное уравнение, проверка никак не сходится:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=2,\: a_0=2,\: a_1=0;
Мое решение:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n \leftrightarrow F(z)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n+1} \leftrightarrow zF(z)-za_0=zF(z)-2z
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n+2} \leftrightarrow z^2F(z)-z^2a_0-za_1=z^2F(z)-2z^2
Подставляем это в исходное уравнение, выражаем F(z):
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=\frac{2z^2-8z+2}{z^2-4z+4}
Выделяем целую часть:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=2-\frac{6}{z^2-4z+4}
Дробь умножаем и делим на z:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=2-z\frac{6z}{(z^2-4z+4)}
Дробь разбиваем на простейшие:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{6z}{(z^2-4z+4)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{(z+2)^2}+\frac{C}{z+2}
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\frac{3}{2},\: B=-3,\: C=-\frac{3}{2}
Находим последовательность:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=2-A-\frac{B}{2}n(-2)^n-C(-2)^n
Подставляем A, B и C:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}n(-2)^n+\frac{3}{2}(-2)^n
Проверка:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=0:\: a_0=2;
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\color{red}{n=1:\: a_1=-5.5\neq 0.}

Расчеты проверил тысячу раз -- все должно быть правильно. Так что либо я совсем дурак и где-то все-таки есть ошибка в расчетах, либо я что-то не так делаю. Помогите найти ошибку, кому не лень.

PS Почему-то форум ругается на слова "помогите" и "решить" в названии темы. Говорит, что слова набраны латиницей и кириллицей вперемешку. Это глюк такой?
0

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
24.05.2015, 17:51
Ответы с готовыми решениями:

конечно-разностные зависимости
Помогите пожалуйста найти теорию по вопросу: Вывод различных конечно-разностных зависимостей...

Разностные уравнения
Подскажите пожалуйста где можно найти нормальную статью с примерами решений разностных уравнений че...

Разностные уравнения
Я сам не знаю как делать мне нужно полностью сделайте кто нибудь

Разностные уравнения с начальными условиями
Условия в картинках. Найти решение разностных уравнений Найти решение разностных уравнений с...

6
Модератор
Эксперт по математике/физике
4178 / 3358 / 392
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,694
24.05.2015, 22:10 2
Откуда взяты исходные соотношения между коэффициентами и производящей функцией?
Если идти от определений, то должно быть так:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}{a}_{n}{z}^{n}=F(z)

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}{a}_{n+1}{z}^{n}=\frac{1}{z}\left( F(z)-{a}_{0}\right)

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}{a}_{n+2}{z}^{n}=\frac{1}{{z}^{2}}\left( F(z)-{a}_{0}-{a}_{1}z\right)

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\sum_{n=0}^{\infty}{z}^{n}=\frac{2}{{1-z}}
1
15 / 15 / 3
Регистрация: 04.02.2013
Сообщений: 124
24.05.2015, 22:32  [ТС] 3
Том Ардер, не понял, почему у Вас https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^n, где n=0, 1, 2... превращается в https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{z},\: \frac{1}{z^2},\: \frac{1}{z^3}... n же не отрицательное.
Лекцию к сожалению я прос[п]ал, но есть методичка, там написано:
Z-преобразование сдвига. Сдвигом последовательности {https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n} мы называем новую последовательность {https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n+1}}, которая имеет вид {https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,\: a_2,\: ...}. Тогда
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a_{n+1}}\leftrightarrow F(z)-za_0
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n+2}\leftrightarrow z^2F(z)-z^2a_0-za_1
...
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n+k}\leftrightarrow z^kF(z)-z^ka_0-z^{k-1}-...-za_{k-1}
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
4178 / 3358 / 392
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,694
24.05.2015, 23:20 4
goditsa8, у Вас используется Z-преобразование, напр. http://mathhelpplanet.com/stat... o-svoystva
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{n}\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}{a}_{n}{z}^{-n}

Я предпочитаю производящие функции, здесь другие соотношения.
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}{a}_{n+1}{z}^{n}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}{a}_{n+1}{z}^{n+1}=\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}{z}^{n}=\frac{1}{z}\left(F(z)-{a}_{0} \right)
1
15 / 15 / 3
Регистрация: 04.02.2013
Сообщений: 124
25.05.2015, 05:08  [ТС] 5
Том Ардер, к сожалению, в задании сказано "решить уравнение, используя z-преобразование".

Добавлено через 2 часа 46 минут
Всё-таки я накосячил. Неверно нашел корни уравнения https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^2-4z+4
Но это не спасло. Главный косяк был в том, что двойку в правой части уравнения я так и оставил двойкой. А она преобразуется в https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2z}{z-1}.
Все решилось, всем спасибо!
0
Модератор
Эксперт по математике/физике
4178 / 3358 / 392
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,694
25.05.2015, 12:52 6
Цитата Сообщение от goditsa8 Посмотреть сообщение
в задании сказано "решить уравнение, используя z-преобразование"
А почему этого не было в стартовом сообщении?
 Комментарий модератора 
Правила форума
4.7. Как можно более полно описывайте суть проблемы или вопроса, что было сделано для ее решения и какие результаты получены.
0
15 / 15 / 3
Регистрация: 04.02.2013
Сообщений: 124
25.05.2015, 18:26  [ТС] 7
Том Ардер, извиняюсь, забыл написать.
0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
25.05.2015, 18:26

Разностные схемы
Доброго времени суток! У меня возник немного глупый вопрос. решаю диффур разностным приближением....

Составить уравнения высот треугольника, если известны уравнения его сторон
составить уравнения высот треугольника, если известны уравнения его сторон: 2x-y+3=0 , x+5y-7=0 ,...

Составление дифференциального уравнения движения системы. Уравнения Лагранжа 2 рода
Здравствуйте! Имеется вот такая задачка: Составить Д.У. движения системы, выбрав кординату,...

Определить тип уравнения, указать метод решения, общее решение дифференциального уравнения
дано дифференциальное уравнение первого порядка: (x+y+1)dx+(x-y2+3)dy=0. Определить тип уравнения,...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
7
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.