Привести пример группы, в которой есть элементы любых натуральных порядков

@externo · Регистрация: 05.09.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Привести пример группы, в которой есть элементы любых натуральных порядков и элементы бесконечного порядка.

8-BITOV · 25.02.2016, 16:44

Множество последовательностей состоящих из элементов Z, Z₂, ... Z_n ...
Относительно естественного сложения
Можно и поэлегантней. Брать только те n, которые являются степенями простых.
Можно ограничится конечными последовательностями.
Можно выкинуть Z, но тогда уже конечными ограничиться не получится

Добавлено через 4 минуты
Интереснее вопрос - найти такую минимальную группу. Т.е. являющуся подгруппой любой группы с таким свойством. Хотя бы в абелевом случае.

@kabenyuk · 25.02.2016, 17:40

Сообщение от externo

пример группы, в которой есть элементы любых натуральных порядков

Это, например, группа ненулевых комплексных чисел по умножению С^*.

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от 8-BITOV

найти такую минимальную группу

Минимальной группы с таким свойством не существует. Это следует из приведенных двух примеров таких групп.

8-BITOV · 25.02.2016, 17:47

Сообщение от kabenyuk

группа ненулевых комплексных чисел по умножению

можно даже взять с |z|=1

Добавлено через 3 минуты
Или фактор-группу группы действительных чисел по сложению по любой циклической подгруппе (изоморфно предыдущему примеру)

@externo · 25.02.2016, 18:04 **[ТС]**

Сообщение от externo

любых натуральных порядков

в смысле всех натуральных порядков

8-BITOV · 25.02.2016, 18:07

Сообщение от externo

Сообщение от externo любых натуральных порядков
в смысле всех натуральных порядков

Это одно и тоже. Вас поняли.

@externo · 25.02.2016, 19:23 **[ТС]**

Можете, пожалуйста, подробнее расписать?

8-BITOV · 27.02.2016, 13:45

Вот еще хороший пример e^(p+q*a)i, p, q - рациональные, a - любое (одно) иррациональное

@Alex5 · 27.02.2016, 16:38

Обозначим G = Q/Z, которая изоморфна { z in C , корни n-й степени из 1 для всевозможных n }

Сообщение от 8-BITOV

являющуся подгруппой любой группы с таким свойством

Может быть, такой будет Z + (Q/Z).

Добавлено через 19 минут
Вроде бы существует вложение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;Q/Z \; \rightarrow \; \prod {Z_{p^k}}\;$ (произведение для всех простых.)

8-BITOV · 27.02.2016, 17:34

У меня в посте 8 ошибочка. Показатель степени надо домножить на 2пи (можно и просто на пи, дела не меняет)

Добавлено через 11 минут

Сообщение от Alex5

Может быть, такой будет

Да, вполне возможно. Во всяком случае, во все предложенные примеры она, похоже, вкладывается...

Добавлено через 3 минуты
Alex5, кажется ваша группа изоморфна e^pi*(p+na)*i. Нет?

@kabenyuk · 27.02.2016, 18:40

Сообщение от Alex5

Вроде бы существует вложение

Нет, не существует такого вложения. Это можно доказать например так.
В прямом произведении счетного числа конечных групп Н, существует такая последовательность подгрупп Н_х, что фактор группы Н/Н_х конечны и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bigcap H_x=1.$
Если бы изоморфная копия А группы Q/Z лежала в Н, то некоторая Н_х не содержит А, а тогда в А имеется подгруппа конечного индекса большего 1:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot H_x/H_x\simeq A/A\cap H_x$

Такой подгруппы в Q/Z нет.

Добавлено через 8 минут

Сообщение от 8-BITOV

ваша группа изоморфна e^pi*(p+na)*i. Нет?

Отвечу за Alex5. Нет. Ни один из ваших элементов, кроме 1, не имеет конечного периода (порядка).
Число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{2\pi\alpha i}$ является корнем из единицы тогда и только тогда, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ целое.

8-BITOV · 27.02.2016, 19:38

Сообщение от kabenyuk

является корнем из единицы тогда и только тогда, когда целое.

ИМхо, не корнем из 1, а самой единицей

Сообщение от kabenyuk

Ни один из ваших элементов, кроме 1, не имеет конечного периода (порядка).

Однако, некоторые все-таки являются. При a=0, p=17/19 период (порядок) = 19

А двойку я опять пропустил... Мыслю в терминах окружности...

@kabenyuk · 27.02.2016, 19:52

Сообщение от 8-BITOV

При a=0

Согласен, но не при а=0 (а у вас иррациональное), а при n=0. Зачем тогда а непонятно.

8-BITOV · 27.02.2016, 22:44

Сообщение от kabenyuk

(а у вас иррациональное)

Да, простите, опять недомыслил. Скажм, a - иррациональное или 0. Впрочем, и N может быть равно нулю. Так что я свое недомыслие снимаю.
Мы оба с вами допускаем ляпы в этом топике. Что простительно, я думаю. Всетки здесь не Ученый Совет. За свои ляпы я извиняюсь.

@kabenyuk · 28.02.2016, 07:35

Сообщение от 8-BITOV

ИМхо, не корнем из 1, а самой единицей

Да, уж. Опечатка. Жаль.

Число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{2\pi\alpha i}$ является корнем из единицы тогда и только тогда, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \alpha$ рациональное.

Если речь о фактор группе Q/Z, то она действительно изоморфна группе корней из 1. Изоморфизмом является отображение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha\rightarrow e^{2\pi\alpha i.$
Что, впрочем, очевидно.

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	27.02.2016, 17:34	10
	У меня в посте 8 ошибочка. Показатель степени надо домножить на 2пи (можно и просто на пи, дела не меняет) Добавлено через 11 минут Сообщение от Alex5 Может быть, такой будет Да, вполне возможно. Во всяком случае, во все предложенные примеры она, похоже, вкладывается... Добавлено через 3 минуты Alex5, кажется ваша группа изоморфна e^pi(p+na)i. Нет? 1

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	27.02.2016, 19:38	12
	Сообщение от kabenyuk является корнем из единицы тогда и только тогда, когда целое. ИМхо, не корнем из 1, а самой единицей Сообщение от kabenyuk Ни один из ваших элементов, кроме 1, не имеет конечного периода (порядка). Однако, некоторые все-таки являются. При a=0, p=17/19 период (порядок) = 19 А двойку я опять пропустил... Мыслю в терминах окружности... 1

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	27.02.2016, 22:44	14
	Сообщение от kabenyuk (а у вас иррациональное) Да, простите, опять недомыслил. Скажм, a - иррациональное или 0. Впрочем, и N может быть равно нулю. Так что я свое недомыслие снимаю. Мы оба с вами допускаем ляпы в этом топике. Что простительно, я думаю. Всетки здесь не Ученый Совет. За свои ляпы я извиняюсь. 0

@externo 1 / 1 / 1 Регистрация: 05.09.2015 Сообщений: 59
		1
	Привести пример группы, в которой есть элементы любых натуральных порядков 25.02.2016, 15:25. Показов 936. Ответов 14 Метки нет (Все метки) Привести пример группы, в которой есть элементы любых натуральных порядков и элементы бесконечного порядка. 0

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	25.02.2016, 16:44	2
	Множество последовательностей состоящих из элементов Z, Z₂, ... Z_n ... Относительно естественного сложения Можно и поэлегантней. Брать только те n, которые являются степенями простых. Можно ограничится конечными последовательностями. Можно выкинуть Z, но тогда уже конечными ограничиться не получится Добавлено через 4 минуты Интереснее вопрос - найти такую минимальную группу. Т.е. являющуся подгруппой любой группы с таким свойством. Хотя бы в абелевом случае. 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	25.02.2016, 17:40	3
	Сообщение от externo пример группы, в которой есть элементы любых натуральных порядков Это, например, группа ненулевых комплексных чисел по умножению С^. Добавлено через 4 минуты* Сообщение от 8-BITOV найти такую минимальную группу Минимальной группы с таким свойством не существует. Это следует из приведенных двух примеров таких групп. 3

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	25.02.2016, 17:47	4
	Сообщение от kabenyuk группа ненулевых комплексных чисел по умножению можно даже взять с \|z\|=1 Добавлено через 3 минуты Или фактор-группу группы действительных чисел по сложению по любой циклической подгруппе (изоморфно предыдущему примеру) 3

@externo 1 / 1 / 1 Регистрация: 05.09.2015 Сообщений: 59
	25.02.2016, 18:04 [ТС]	5
	Сообщение от externo любых натуральных порядков в смысле всех натуральных порядков 0

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	25.02.2016, 18:07	6
	Сообщение от externo Сообщение от externo любых натуральных порядков в смысле всех натуральных порядков Это одно и тоже. Вас поняли. 1

@externo 1 / 1 / 1 Регистрация: 05.09.2015 Сообщений: 59
	25.02.2016, 19:23 [ТС]	7
	Можете, пожалуйста, подробнее расписать? 0

8-BITOV 543 / 486 / 104 Регистрация: 05.05.2014 Сообщений: 1,110
	27.02.2016, 13:45	8
	Вот еще хороший пример e^(p+q*a)i, p, q - рациональные, a - любое (одно) иррациональное 1

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	27.02.2016, 16:38	9
	Обозначим G = Q/Z, которая изоморфна { z in C , корни n-й степени из 1 для всевозможных n } Сообщение от 8-BITOV являющуся подгруппой любой группы с таким свойством Может быть, такой будет Z + (Q/Z). Добавлено через 19 минут Вроде бы существует вложение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;Q/Z \; \rightarrow \; \prod {Z_{p^k}}\;$ (произведение для всех простых.) 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	27.02.2016, 18:40	11
	Сообщение от Alex5 Вроде бы существует вложение Нет, не существует такого вложения. Это можно доказать например так. В прямом произведении счетного числа конечных групп Н, существует такая последовательность подгрупп Н_х, что фактор группы Н/Н_х конечны и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bigcap H_x=1.$ Если бы изоморфная копия А группы Q/Z лежала в Н, то некоторая Н_х не содержит А, а тогда в А имеется подгруппа конечного индекса большего 1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\cdot H_x/H_x\simeq A/A\cap H_x$ Такой подгруппы в Q/Z нет. Добавлено через 8 минут Сообщение от 8-BITOV ваша группа изоморфна e^pi(p+na)i. Нет? Отвечу за Alex5. Нет. Ни один из ваших элементов, кроме 1, не имеет конечного периода (порядка). Число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{2\pi\alpha i}$ является корнем из единицы тогда и только тогда, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ целое. 2

	28.02.2016, 07:35

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	27.02.2016, 19:52	13
	Сообщение от 8-BITOV При a=0 Согласен, но не при а=0 (а у вас иррациональное), а при n=0. Зачем тогда а непонятно. 1

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	28.02.2016, 07:35	15
	Сообщение от 8-BITOV ИМхо, не корнем из 1, а самой единицей Да, уж. Опечатка. Жаль. Число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{2\pi\alpha i}$ является корнем из единицы тогда и только тогда, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \alpha$ рациональное. Если речь о фактор группе Q/Z, то она действительно изоморфна группе корней из 1. Изоморфизмом является отображение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha\rightarrow e^{2\pi\alpha i.$ Что, впрочем, очевидно. 0