Вычислить данные суммы

@Azerot · Регистрация: 13.01.2016

Вычислить данные суммы : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{n}^{2}-2C_{n}^{3}+3C_{n}^{4}+...+{(-1)}^{n}(n-1)C_{n}^{n}$

@splen · 29.02.2016, 01:47

Если положить

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=\sum_{k=2}^n C_{n}^k \cdot (k-1) (-x)^{k-2},$

то достаточно вычислить S(1). В то же время,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=-\frac{d}{dx}\sum_{k=2}^n C_{n}^k (-x)^{k-1}=\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x}\sum_{k=2}^n C_{n}^k (-x)^{k} \right],$

и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=2}^n C_{n}^k (-x)^{k}=\sum_{k=0}^n C_{n}^k (-x)^{k} - 1 + x = (1-x)^n - 1 + x.$

Поэтому

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=\frac{d}{dx} \left[ (1-x)f(x) \right],$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{(1-x)^{n-1}-1}{x}.$

По определению производной,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(1)=\frac{d}{dx} \left[ (1-x)f(x) \right] |_{x=1}=\lim_{x \to 1} \frac {(1-x)f(x)}{x-1} = -f(1)=1.$

Байт · 02.03.2016, 09:50

"Похожая" задача
Вычислить данные суммы

Добавлено через 3 минуты
splen, в строчке 3 не nx ? В смысле C_n¹x ?

@splen · 02.03.2016, 15:13

Байт, конечно.
Любопытно, что при этом все выкладки остаются верными (даже включая следущее равенство).

@Azerot 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.01.2016 Сообщений: 23
		1
	Вычислить данные суммы 29.02.2016, 00:27. Просмотров 492. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Вычислить данные суммы : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{n}^{2}-2C_{n}^{3}+3C_{n}^{4}+...+{(-1)}^{n}(n-1)C_{n}^{n}$ 0

@splen 1727 / 1019 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	29.02.2016, 01:47	2
	Если положить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=\sum_{k=2}^n C_{n}^k \cdot (k-1) (-x)^{k-2},$ то достаточно вычислить S(1). В то же время, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=-\frac{d}{dx}\sum_{k=2}^n C_{n}^k (-x)^{k-1}=\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x}\sum_{k=2}^n C_{n}^k (-x)^{k} \right],$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=2}^n C_{n}^k (-x)^{k}=\sum_{k=0}^n C_{n}^k (-x)^{k} - 1 + x = (1-x)^n - 1 + x.$ Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(x)=\frac{d}{dx} \left[ (1-x)f(x) \right],$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{(1-x)^{n-1}-1}{x}.$ По определению производной, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(1)=\frac{d}{dx} \left[ (1-x)f(x) \right] \|_{x=1}=\lim_{x \to 1} \frac {(1-x)f(x)}{x-1} = -f(1)=1.$ 1

Байт 25456 / 15847 / 3389 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 34,675
	02.03.2016, 09:50	3
	"Похожая" задача Вычислить данные суммы Добавлено через 3 минуты splen, в строчке 3 не nx ? В смысле C_n¹x ? 0

@splen 1727 / 1019 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	02.03.2016, 15:13	4
	Байт, конечно. Любопытно, что при этом все выкладки остаются верными (даже включая следущее равенство). 0

Опции темы