Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Алгебра, теория чисел
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.77/13: Рейтинг темы: голосов - 13, средняя оценка - 4.77
10 / 10 / 2
Регистрация: 09.08.2010
Сообщений: 321
1

Построение группы на примере вращений правильного треугольника и построение групп вообще

21.03.2016, 22:43. Просмотров 2439. Ответов 3
Метки нет (Все метки)


Вот есть группа, образованная в результате вращений правильного треугольника. Эта группа замкнутая, ассоциативная, имеет нейтральный элемент, имеет обратный элемент. Сам вопрос в том, как человек вообще должен строить группу? Ниже прикреплю картинку из википедии с поворотами этого треугольника и с таблицей Клэя. Там на пересечении каждого элемента группы стоит результат операции, примененный к этим двум элементам. Не могу понять, что за правила такие, по которым строятся эти группы.
1. Треугольник попереворачивать я в состоянии, а таблицу Клэя заполнить - нет. Объясните, пожалуйста, как строятся группы, т.е. как человек должен понять, что должно стоять в таблице Клэя на пересечении элементов группы.
2. Почему, например, можно построить только одну 3-группу и только две 4-группы (одна из которых носит название группы Кляйна)? Необходимо, чтобы для множества выполнялись следующие свойства: замкнутость, ассоциативность, наличие нейтрального и обратного элементов. Получается, нужно просто перебирать элементы в той же таблице Клэя, нужно так их расставить, чтобы все эти свойства выполнялись?
Откровенно говоря я хреново понимаю тему Теория групп, доказать или опровергнуть наличие свойств для множества я могу, на этом мои навыки практически заканчиваются. Сколько читал статей (в том числе глав из различных книг) - не доходит до меня что-то. В связи с этим:
3. Могли бы порекомендовать какую-нибудь статью вот прямо совсем для чайников, в которой изложение ведется последовательно, где автор книги не умалчивает, как группы строятся, почему тех же 4-групп ровно две, как это показать... В общем, чтобы было очень последовательно и доходчиво расписано. Если такие вообще есть.
0
Миниатюры
Построение группы на примере вращений правильного треугольника и построение групп вообще  
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
21.03.2016, 22:43
Ответы с готовыми решениями:

Построение правильного треугольника
Написать процедуру которая рисует правильный треугольник, размер сторон которого вводится с...

Построение правильного восьмиугольника
Помогите пожалуйста,нужно составить программу построения правильного восьмиугольника,закрашенного...

Построение вершин правильного многоугольника
Доброго времени суток, Дело в том что нужно рисовать граф, сейчас рисую через рандом но мне такое...

Построение графиков на примере программы MindMap
Добрый день, у меня стоит задача построения графиков в форме C#, делаю сложную вычислительную...

__________________
Помогаю в написании курсовых работ и дипломов здесь.
3
10 / 10 / 2
Регистрация: 09.08.2010
Сообщений: 321
22.03.2016, 01:26  [ТС] 2
*Эм, таблица Кэли. Не Клэя. Не знаю, что меня дернуло, обозвать ее таблицей Клэя.
0
65 / 65 / 31
Регистрация: 11.03.2016
Сообщений: 252
22.03.2016, 07:41 3
Цитата Сообщение от William Blake Посмотреть сообщение
Эта группа замкнутая, ассоциативная, имеет нейтральный элемент, имеет обратный элемент.
Говорить так малость безграмотно. Группа — она и так замкнута относительно групповой операции, имеет нейтральный и обратный элемент, а вот сама операция ассоциативна.
Цитата Сообщение от William Blake Посмотреть сообщение
Треугольник попереворачивать я в состоянии, а таблицу Клэя заполнить - нет.
Это немного странно. Давайте посмотрим на вторую картинку, где добавили отражения. Смотрим вторую строку таблицы. Как вы уже поняли, если в строке написано https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a, а в столбце https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b, то на их пересечении стоит https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\circ b. Итак, повернули треугольник на 120 градусов, отразили с помощью R1. По вашим же картинкам видно, что это то же самое, что сделать R2.
Цитата Сообщение от William Blake Посмотреть сообщение
Почему, например, можно построить только одну 3-группу и только две 4-группы
Если не привлекать всю мощь теории групп, то вы можете это проверить руками. Если у вас есть три элемента https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e, a, b, то необходимо https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ab = e. Итак, у вас есть https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e, a, a^{-1}. Нам нужно знать, чему равно https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2. Так как это точно не https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a (я думаю, вы уже догадались, что в силу наличия обратного элемента уравнение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy=x имеет в группах только одно решение https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = e) и не https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e (https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2=e\Longrightarrow a = a^{-1}, а у нас три различных элемента), это https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^{-1}. В итоге, группа имеет вид https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e, a, a^2 — то есть изоморфна циклической группе https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Z_3.

Конечно, никто не будет разбирать руками все случаи. Для групп простого порядка есть теорема Лагранжа, которая имеет следствием то, что всякая группа простого порядка — циклическая. Для остальных вариантов разложения порядка в простые тоже есть свои теоремы.

Цитата Сообщение от William Blake Посмотреть сообщение
*Эм, таблица Кэли. Не Клэя. Не знаю, что меня дернуло, обозвать ее таблицей Клэя.
Да и «Кляйна» всё-таки принятно называть Клейном

Цитата Сообщение от William Blake Посмотреть сообщение
Могли бы порекомендовать какую-нибудь статью вот прямо совсем для чайников
Был такой хороший советский журнал «Квант», где можно было найти доходчивые статьи.
2
Эксперт по математике/физике
3777 / 2795 / 845
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 5,844
22.03.2016, 15:56 4
William Blake, почитайте книжку не пожалеете
Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и перестановки
Очень доходчива и показываются приложения в комбинаторике.
1
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
22.03.2016, 15:56

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные работы и диссертации здесь или здесь.

Matlab в теории групп. (построение орбит)
Здравствуйте! вопрос у меня несколько необычный, но решаться он должен весьма тривиально. Мне...

Построение графа (узлов, или как вообще это назвать?)
Всем привет! В геометрии я получал в школе двойки, но, впринципе, мне пока это не мешает. Хотя,...

Построение треугольника
С клавиатуры вводится число n. Нужно написать программу, которая рисует равнобедренный треугольник...

Построение треугольника
Требуется определить тип треугольника и построить его зная стороны. с типом треуголька я...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
4
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.