Имеет ли решение система уравнений?

@manzzz · Регистрация: 26.07.2016

Помогите, пжлст, разобраться с такой системой
имеет ли она решение вообще?

b1=1000*x1/x2;
b2=x1/x3;
b3=x1/x4;
b4=1000*x3/x2,

где b1,...,b4 - const

или обоснование подвести, почему она имеет решений?

спасибо

@SSC · 26.07.2016, 11:18

Из 1 -> x2=1000*x1/b1
Подставляем в 4 -> b4=1000*x3/(1000*x1/b1)=b1*x3/x1
Откуда x3=b4*x1/b1
Подставляем в 2 -> b2=x1/(b4*x1/b1)=b1/b4
Система выродилась.
Если условие b2=b1/b4 не выполняется система не разрешима
Если условие выполняется система имеет бесконечное число решений
Задаем x4=a - произвольное число от -бесконечности до +бесконечности
И далее определяем из 3 -> x1=b3*x4=b3*a
Из 2 -> x3=x1/b2=b3*a/b2
Из 1 -> x2=1000*b3*a/b1
В тоже время из 4 -> x2=1000*b3*a/b2*b4, и так как условие выполняется то b2*b4=b1 и значение корня сходится с прдыдущим

@manzzz · 26.07.2016, 11:48 **[ТС]**

Понял... Спасибо большое...

echs · 26.07.2016, 17:34

Выше было указано условие разрешимости системы уравнений
А именно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_1=b_2b_4$
Исходя из этого я решил эту систему
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=\frac {b_2b_4}{1000}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2=1$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_3=\frac {b_4}{1000}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_4=\frac {b_2b_4}{1000b_3}$ дополнительное условие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_3\no =0$

@SSC · 27.07.2016, 07:29

geh, Вы привели одно из частных решений, причем которое возможно только в случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}_{3}\neq 0$
Условие неравенства нулю b3 для исходной системы уравнений не является обязательным.
В данной системе вообще есть решение x1=x2=x3=x4=0, которое существует при любых значениях b1,b2,b3,b4

echs · 27.07.2016, 09:06

SSC
Вы меня извините. Вы просто не заметили, что в
системе уравнений есть операция деления. А значит
Нулевого решения там быть не может по определению.
Я приношу свои извинения.

@SSC · 27.07.2016, 10:19

А зачем так сразу и делить, тем более например ноль на ноль и утверждать что этого нельзя делать.
Просто надо переписать уравнения в более удобном для решения виде (вообще от операций деления желательно по возможности уходить)
Из
b1=1000*x1/x2;
делаем
b1*x2=1000*x1
и т.д.
И сразу исчезли проблемы с делением на ноль и стало видно, что при x1=x2=x3=x4=0 есть решение.

echs · 27.07.2016, 13:46

SSC
Я потрясен Вашей логикой (вернее ее отсутствием)
Я готов официально признать, что не знаю математики
в случае, если Вы окажетесь правы...

@Puporev · 27.07.2016, 14:13

Сообщение от SSC

В данной системе вообще есть решение x1=x2=x3=x4=0,

А чему тогда равно b2? b2=x1/x3;

@SSC · 27.07.2016, 14:30

geh, а Вы что, не видели с самого начала, что это по сути система линейных алгебраических уравнений, как решать которую раньше изучали на первом курсе ВУЗа в курсе высшей математики даже не математических специальностей. Вспомните определители, матрицы все операции с ними натаскивались именно на системах линейных уравнений. Я просто не стал сразу приводить к каноническому виду (а может быть и зря, просто я не математик и как-то поховато у меня со строгими доказательствами [вот Байт молодец искренне завидую его способностям]), т.к. система просто решалась (много нулевых коэффициентов) и сразу получалось решение.

Сообщение от Puporev

А чему тогда равно b2? b2=x1/x3;

А любому числу, хоть комплексному

echs · 27.07.2016, 15:26

SSC
Эта система уравнений НЕ ЯВЛЯЕТСЯ СИСТЕМОЙ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. - это система нелинейных
уравнений с параметрами и решается она своими
методами. У этой системы нет канонического вида
- за отсутствием такового. Вероятно вы неплохо решаете
Системы линейных уравнений. Но здесь их нет и не было.
Желаю Вам успехов в решении как простых уравнений,
так и систем уравнений.

@SSC · 27.07.2016, 16:24

Есть первое представление системы уравнений
b1=1000*x1/x2;
b2=x1/x3;
b3=x1/x4;
b4=1000*x3/x2,
И это представление элементарным образом приводится к следующему виду
1000*x1-b1*x2 + 0*x3 +0*x4=0
1*x1+ 0*x2 -b2*x3 +0*x4=0
1*x1+ 0*x2 +0*x3-b4*x4=0
0*x1+b4*x2-1000*x3 +0*x4=0
Которое является классическим представлением системы линейных уравнений с нулевой правой частью.

Сообщение от geh

Эта система уравнений НЕ ЯВЛЯЕТСЯ СИСТЕМОЙ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. - это система нелинейных

То есть если в системе линейных уравнений в каждом уравнении провести деление на одно из неизвестных, то система становится системой нелинейных уравнений и какие-то корни (нулевые) в ней уже не могут быть, так как на ноль делить нельзя.
Бедный Гаусс так при жизни и не узнал, что его метод решает и "нелинейные" уравнения

Еще пример
уравнение y=b*x - какое? Подсказка - на графике это линия
а уравнение b=y/x - уже конечно "нелинейное" - потому-что там деление

echs · 27.07.2016, 16:59

SSC
Давайте расставим все точки над i
1. Начнем приведенного Вами простого примера b=y/x
Это уравнение не определяет прямую линию, ибо прямая не
имеет точек разрыва. А здесь есть точка разрыва.
Как называют подобное уравнение?
Это уравнение, которое ПРИВОДИТСЯ к линейному. Есть большая
разница между линейным уравнением и уравнением, которое может
быть приведено к нему.
2. Теперь обратимся к исходной системе
Это система, которая может быть ПРИВЕДЕНА к системе линейных
уравнений. Но. Она ТЕРЯЕТ СВОЙСТВА (что-то остается) системы
линейных уравнений. В данном случае Нулевое решение отсутствует.
(Гаусс это не переживет)
- Это прямое доказательство того, что мы имеем дело не с системой
линейных уравнений в классическом ее понимании. И обращаться с
ней надо осторожно.
Мало того. Исходное уравнение еще при определенных условиях не
имеет решений вообще...
Мне бы очень хотелось, чтобы Вы поняли простую истину.
Стоит где-то и что-то поменять, провести преобразование и
Вы получите ИНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ. А вместе с
ним и ошибки и ошибочные выводы и отсутствие логики.

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3368 / 1893 / 569 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,297
	27.07.2016, 16:24	12
	Есть первое представление системы уравнений b1=1000x1/x2; b2=x1/x3; b3=x1/x4; b4=1000x3/x2, И это представление элементарным образом приводится к следующему виду 1000x1-b1x2 + 0x3 +0x4=0 1x1+ 0x2 -b2x3 +0x4=0 1x1+ 0x2 +0x3-b4x4=0 0x1+b4x2-1000x3 +0x4=0 Которое является классическим представлением системы линейных уравнений с нулевой правой частью. Сообщение от geh Эта система уравнений НЕ ЯВЛЯЕТСЯ СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. - это система нелинейных То есть если в системе линейных уравнений в каждом уравнении провести деление на одно из неизвестных, то система становится системой нелинейных уравнений и какие-то корни (нулевые) в ней уже не могут быть, так как на ноль делить нельзя. Бедный Гаусс так при жизни и не узнал, что его метод решает и "нелинейные" уравнения Еще пример уравнение y=b*x - какое? Подсказка - на графике это линия а уравнение b=y/x - уже конечно "нелинейное" - потому-что там деление 0

@manzzz 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.07.2016 Сообщений: 10
		1
	Имеет ли решение система уравнений? 26.07.2016, 10:47. Показов 925. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Помогите, пжлст, разобраться с такой системой имеет ли она решение вообще? b1=1000x1/x2; b2=x1/x3; b3=x1/x4; b4=1000x3/x2, где b1,...,b4 - const или обоснование подвести, почему она имеет решений? спасибо __________________ Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ, диссертаций здесь 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3368 / 1893 / 569 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,297
	26.07.2016, 11:18	2
	Из 1 -> x2=1000x1/b1 Подставляем в 4 -> b4=1000x3/(1000x1/b1)=b1x3/x1 Откуда x3=b4x1/b1 Подставляем в 2 -> b2=x1/(b4x1/b1)=b1/b4 Система выродилась. Если условие b2=b1/b4 не выполняется система не разрешима Если условие выполняется система имеет бесконечное число решений Задаем x4=a - произвольное число от -бесконечности до +бесконечности И далее определяем из 3 -> x1=b3x4=b3a Из 2 -> x3=x1/b2=b3a/b2 Из 1 -> x2=1000b3a/b1 В тоже время из 4 -> x2=1000b3a/b2b4, и так как условие выполняется то b2*b4=b1 и значение корня сходится с прдыдущим 0

@manzzz 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.07.2016 Сообщений: 10
	26.07.2016, 11:48 [ТС]	3
	Понял... Спасибо большое... 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	26.07.2016, 17:34	4
	Выше было указано условие разрешимости системы уравнений А именно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_1=b_2b_4$ Исходя из этого я решил эту систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=\frac {b_2b_4}{1000}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2=1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_3=\frac {b_4}{1000}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_4=\frac {b_2b_4}{1000b_3}$ дополнительное условие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_3\no =0$ 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3368 / 1893 / 569 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,297
	27.07.2016, 07:29	5
	geh, Вы привели одно из частных решений, причем которое возможно только в случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{b}_{3}\neq 0$ Условие неравенства нулю b3 для исходной системы уравнений не является обязательным. В данной системе вообще есть решение x1=x2=x3=x4=0, которое существует при любых значениях b1,b2,b3,b4 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	27.07.2016, 09:06	6
	SSC Вы меня извините. Вы просто не заметили, что в системе уравнений есть операция деления. А значит Нулевого решения там быть не может по определению. Я приношу свои извинения. 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3368 / 1893 / 569 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,297
	27.07.2016, 10:19	7
	А зачем так сразу и делить, тем более например ноль на ноль и утверждать что этого нельзя делать. Просто надо переписать уравнения в более удобном для решения виде (вообще от операций деления желательно по возможности уходить) Из b1=1000x1/x2; делаем b1x2=1000*x1 и т.д. И сразу исчезли проблемы с делением на ноль и стало видно, что при x1=x2=x3=x4=0 есть решение. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	27.07.2016, 13:46	8
	SSC Я потрясен Вашей логикой (вернее ее отсутствием) Я готов официально признать, что не знаю математики в случае, если Вы окажетесь правы... 0

@Puporev Почетный модератор 64270 / 47569 / 32739 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,182
	27.07.2016, 14:13	9
	Сообщение от SSC В данной системе вообще есть решение x1=x2=x3=x4=0, А чему тогда равно b2? b2=x1/x3; 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3368 / 1893 / 569 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,297
	27.07.2016, 14:30	10
	geh, а Вы что, не видели с самого начала, что это по сути система линейных алгебраических уравнений, как решать которую раньше изучали на первом курсе ВУЗа в курсе высшей математики даже не математических специальностей. Вспомните определители, матрицы все операции с ними натаскивались именно на системах линейных уравнений. Я просто не стал сразу приводить к каноническому виду (а может быть и зря, просто я не математик и как-то поховато у меня со строгими доказательствами [вот Байт молодец искренне завидую его способностям]), т.к. система просто решалась (много нулевых коэффициентов) и сразу получалось решение. Сообщение от Puporev А чему тогда равно b2? b2=x1/x3; А любому числу, хоть комплексному 0

Опции темы

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	27.07.2016, 15:26	11
	SSC Эта система уравнений НЕ ЯВЛЯЕТСЯ СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. - это система нелинейных уравнений с параметрами и решается она своими методами. У этой системы нет канонического вида - за отсутствием такового. Вероятно вы неплохо решаете Системы линейных уравнений. Но здесь их нет и не было. Желаю Вам успехов в решении как простых уравнений, так и систем уравнений. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	27.07.2016, 16:59	13
	SSC Давайте расставим все точки над i 1. Начнем приведенного Вами простого примера b=y/x Это уравнение не определяет прямую линию, ибо прямая не имеет точек разрыва. А здесь есть точка разрыва. Как называют подобное уравнение? Это уравнение, которое ПРИВОДИТСЯ к линейному. Есть большая разница между линейным уравнением и уравнением, которое может быть приведено к нему. 2. Теперь обратимся к исходной системе Это система, которая может быть ПРИВЕДЕНА к системе линейных уравнений. Но. Она ТЕРЯЕТ СВОЙСТВА (что-то остается) системы линейных уравнений. В данном случае Нулевое решение отсутствует. (Гаусс это не переживет) - Это прямое доказательство того, что мы имеем дело не с системой линейных уравнений в классическом ее понимании. И обращаться с ней надо осторожно. Мало того. Исходное уравнение еще при определенных условиях не имеет решений вообще... Мне бы очень хотелось, чтобы Вы поняли простую истину. Стоит где-то и что-то поменять, провести преобразование и Вы получите ИНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ. А вместе с ним и ошибки и ошибочные выводы и отсутствие логики. 0