Вычисление определителя матрицы методом рекуррентных соотношений

@Men007 · Регистрация: 03.10.2016

Вычислить определитель матрицы методом рекуррентных соотношений:

Перезалейте картинку...

@Men007 · 24.10.2016, 11:15 **[ТС]**

Вот фотография данного задания
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1\\ 1 & \alpha _1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 1 & 0 & \alpha _2 & 0 & \dots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha _n \end{vmatrix}$

@jogano · 24.10.2016, 16:10

Раскладываете ваш определитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n$ по последней n+1-й строке, в которой два ненулевых элемента, выйдет
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1 \right)^{n+2}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1\\ \alpha _1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \alpha _2 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & \dots & 0 & \alpha _{n-1} & 0\end{vmatrix}+\alpha _n\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & \dots & 1\\ 1 & \alpha _1 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 0 & \alpha _2 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & 0 & \dots & 0 & \alpha _{n-1} \end{vmatrix}$
Первый определитель раскладываете по последнему столбцу, в котором только один ненулевой элемент, и тогда вышезаписанное первое слагаемое равно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1 \right)^{n+2}\left(-1 \right)^{n+1}\begin{vmatrix}\alpha _1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \alpha _2 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha _{n-1}\end{vmatrix}=-\prod_{i=1}^{n-1}\alpha _i$
А второе слагаемое равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _nD_{n-1}$ . Получаем рекурентное соотношение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=-\prod_{i=1}^{n-1}\alpha _i+\alpha _nD_{n-1}$
С учётом того, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_1=\begin{vmatrix}0 & 1\\ 1 & \alpha _1\end{vmatrix}=-1$ , получаем, путём несложных преобразований, ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=-\prod_{i=1}^{n}\alpha _i \cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha _i}$

@Men007 · 24.10.2016, 21:09 **[ТС]**

Извините, не могли ли вы объяснить, почему при разложении определителя в первом слагаемом (-1) в степени (n+2), ведь у нас единица (один из элементов определителя) расположена в первом столбце?

@jogano · 24.10.2016, 21:22

Исходный определитель порядка n+1. В первом слагаемом разложения в показателе степени при -1 стоит сумма строки и столбца левой-нижней единицы, т.е. (n+1)+1.

@Men007 · 24.10.2016, 23:53 **[ТС]**

Огромное спасибо, вот только никак не могу понять, как с учетом того, что D(1)=-1, из a(n)*D(n-1) получили $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n}1/{\alpha }_{i}$ . (На семинаре вычисляли определители. в составе которых были лишь цифры, там вообще все просто решается и без знаков умножения и сложения).

Добавлено через 1 час 30 минут
Можете, пожалуйста, написать, путем каких несложных преобразований вы получили ответ?

@Men007 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.10.2016 Сообщений: 90
		1
	Вычисление определителя матрицы методом рекуррентных соотношений 24.10.2016, 00:43. Показов 14452. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Вычислить определитель матрицы методом рекуррентных соотношений: Перезалейте картинку... 0

@Men007 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.10.2016 Сообщений: 90
	24.10.2016, 11:15 [ТС]	2
	Вот фотография данного задания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1\\ 1 & \alpha _1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 1 & 0 & \alpha _2 & 0 & \dots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha _n \end{vmatrix}$ 0

@jogano Модератор $Эксперт по математике/физике$ 6351 / 4060 / 1509 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	24.10.2016, 16:10	3
	Раскладываете ваш определитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n$ по последней n+1-й строке, в которой два ненулевых элемента, выйдет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1 \right)^{n+2}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1\\ \alpha _1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \alpha _2 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & \dots & 0 & \alpha _{n-1} & 0\end{vmatrix}+\alpha _n\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & \dots & 1\\ 1 & \alpha _1 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 0 & \alpha _2 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & 0 & \dots & 0 & \alpha _{n-1} \end{vmatrix}$ Первый определитель раскладываете по последнему столбцу, в котором только один ненулевой элемент, и тогда вышезаписанное первое слагаемое равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1 \right)^{n+2}\left(-1 \right)^{n+1}\begin{vmatrix}\alpha _1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \alpha _2 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha _{n-1}\end{vmatrix}=-\prod_{i=1}^{n-1}\alpha _i$ А второе слагаемое равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha _nD_{n-1}$ . Получаем рекурентное соотношение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=-\prod_{i=1}^{n-1}\alpha _i+\alpha _nD_{n-1}$ С учётом того, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_1=\begin{vmatrix}0 & 1\\ 1 & \alpha _1\end{vmatrix}=-1$ , получаем, путём несложных преобразований, ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_n=-\prod_{i=1}^{n}\alpha _i \cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha _i}$ 2

@Men007 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.10.2016 Сообщений: 90
	24.10.2016, 21:09 [ТС]	4
	Извините, не могли ли вы объяснить, почему при разложении определителя в первом слагаемом (-1) в степени (n+2), ведь у нас единица (один из элементов определителя) расположена в первом столбце? 0

@jogano Модератор $Эксперт по математике/физике$ 6351 / 4060 / 1509 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	24.10.2016, 21:22	5
	Исходный определитель порядка n+1. В первом слагаемом разложения в показателе степени при -1 стоит сумма строки и столбца левой-нижней единицы, т.е. (n+1)+1. 0

@Men007 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.10.2016 Сообщений: 90
	24.10.2016, 23:53 [ТС]	6
	Огромное спасибо, вот только никак не могу понять, как с учетом того, что D(1)=-1, из a(n)D(n-1) получили $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n}1/{\alpha }_{i}$ . (На семинаре вычисляли определители. в составе которых были лишь цифры, там вообще все просто решается и без знаков умножения и сложения). Добавлено через 1 час 30 минут* Можете, пожалуйста, написать, путем каких несложных преобразований вы получили ответ? 0

Опции темы