Найти базис пересечения и суммы подпространств

@NEvOl · Регистрация: 13.08.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой пожалуйста.
Дано подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ заданное линейной оболочкой векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1=\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2=\begin{pmatrix}2\\ 6\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_3=\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}$ .
И подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ заданное линейной оболочкой векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_1=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_2=\begin{pmatrix}3\\ -3\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_3=\begin{pmatrix}2\\ -2\end{pmatrix}$
Нужно найти базис и размерность пересечения и суммы этих подпространств.
1)Найдем пересечение подпространств $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$
для этого перейдем от описания подпространства с помощью линейной оболочки к описанию с помощью однородной системы уравнений.
Для подпространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ составим расширенную матрицу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & x_1\\ 3 & 6 & 4 & x_2\end{pmatrix}$
прибавим первую строку умноженную на -3 ко второй
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & x_1\\ 0 & 0 & 1 & x_2-3x_1\end{pmatrix}$
видно что ранг матрицы векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,a_2,a_3$ совпадает с рангом расширенной матрицы для любого вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ , значит нет однородной системы описывающей подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$
Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ проводим аналогичные действия:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 & x_1\\ 1 & -3 & -2 & x_2\end{pmatrix}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 & x_1\\ 0 & 0 & 0 & x_1+x_2\end{pmatrix}$
и ОСЛУ
будет: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1+x_2=0$
т.к. системы описывающей подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ нет, значит система $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1+x_2=0$ полностью описывает пересечение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ , фундаментальной системой решений является единственный вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}$ он и является базисом пересечения, а размерность пересечения равна 1 (т.к. 1 вектор в базисе).

2)Вот с суммой немного запутался
По определению суммой подпространств является $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P+Q=\{x|x=a+b, a\in P, b\in Q\}$
т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a+b=(\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3)+(\alpha_4b_1+\alpha_5b_2+\alpha_6b_3)=\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3+\alpha_4b_1+\alpha_5b_2+\alpha_6b_3$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \alpha i$ что можно записать как линейная оболочка векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ .
составим матрицу из векторов образующих сумму подпространств:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 & 3 & 2\\ 3 & 6 & 4 & 1 & -3 & -2\end{pmatrix}$
возьмем столбцы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2,a_3$ они образуют ненулевой минор, значит они образуют базис суммы подпространств и соответственно его размерность равна 2 (т.к. 2 вектора в базисе).

Скажите пожалуйста, верно ли я решаю ?

@kabenyuk · 05.11.2016, 19:46

Вообще-то уравнения составлять нет нужды, да и вычислять что-либо. Очевидно, что Р=R², значит пересечение - это Q, а сумма - это Р. Вот и все.

@NEvOl · 06.11.2016, 07:20 **[ТС]**

kabenyuk, меня интересует прежде всего метод решения, может в этом примере все очевидно, а если был бы пример менее очевидный ?

@kabenyuk · 06.11.2016, 07:51

Сообщение от NEvOl

а если был бы пример менее очевидный

То ваш метод не слишком хорош.

@NEvOl · 06.11.2016, 11:29 **[ТС]**

kabenyuk, а как тогда надо решать ?))

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
		1
	Найти базис пересечения и суммы подпространств 05.11.2016, 15:25. Показов 24003. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой пожалуйста. Дано подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ заданное линейной оболочкой векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1=\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2=\begin{pmatrix}2\\ 6\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_3=\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}$ . И подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ заданное линейной оболочкой векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_1=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_2=\begin{pmatrix}3\\ -3\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b_3=\begin{pmatrix}2\\ -2\end{pmatrix}$ Нужно найти базис и размерность пересечения и суммы этих подпространств. 1)Найдем пересечение подпространств $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ для этого перейдем от описания подпространства с помощью линейной оболочки к описанию с помощью однородной системы уравнений. Для подпространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ составим расширенную матрицу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & x_1\\ 3 & 6 & 4 & x_2\end{pmatrix}$ прибавим первую строку умноженную на -3 ко второй $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & x_1\\ 0 & 0 & 1 & x_2-3x_1\end{pmatrix}$ видно что ранг матрицы векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,a_2,a_3$ совпадает с рангом расширенной матрицы для любого вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ , значит нет однородной системы описывающей подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ проводим аналогичные действия: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 & x_1\\ 1 & -3 & -2 & x_2\end{pmatrix}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}-1 & 3 & 2 & x_1\\ 0 & 0 & 0 & x_1+x_2\end{pmatrix}$ и ОСЛУ будет: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1+x_2=0$ т.к. системы описывающей подпространство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ нет, значит система $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1+x_2=0$ полностью описывает пересечение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Q$ , фундаментальной системой решений является единственный вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_1=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}$ он и является базисом пересечения, а размерность пересечения равна 1 (т.к. 1 вектор в базисе). 2)Вот с суммой немного запутался По определению суммой подпространств является $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P+Q=\{x\|x=a+b, a\in P, b\in Q\}$ т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a+b=(\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3)+(\alpha_4b_1+\alpha_5b_2+\alpha_6b_3)=\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3+\alpha_4b_1+\alpha_5b_2+\alpha_6b_3$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \alpha i$ что можно записать как линейная оболочка векторов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ . составим матрицу из векторов образующих сумму подпространств: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 & 3 & 2\\ 3 & 6 & 4 & 1 & -3 & -2\end{pmatrix}$ возьмем столбцы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2,a_3$ они образуют ненулевой минор, значит они образуют базис суммы подпространств и соответственно его размерность равна 2 (т.к. 2 вектора в базисе). Скажите пожалуйста, верно ли я решаю ? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	05.11.2016, 19:46	2
	Вообще-то уравнения составлять нет нужды, да и вычислять что-либо. Очевидно, что Р=R², значит пересечение - это Q, а сумма - это Р. Вот и все. 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	06.11.2016, 07:20 [ТС]	3
	kabenyuk, меня интересует прежде всего метод решения, может в этом примере все очевидно, а если был бы пример менее очевидный ? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	06.11.2016, 07:51	4
	Сообщение от NEvOl а если был бы пример менее очевидный То ваш метод не слишком хорош. 0

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	06.11.2016, 11:29 [ТС]	5
	kabenyuk, а как тогда надо решать ?)) 0