При каком условии система уравнений имеет единственное решение?

@Skalpel02 · Регистрация: 21.09.2016

Добрый час суток! Есть такая задача. В какой ситуации решение системы единое,выписать это решение.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} a ,1 , 1 | a \\ 1 ,b , 1 | b \\ 1 , 1 ,c | c\end{pmatrix}$
Блин. Первый раз,извините пробелы не особо получились..
Насколько я понял,решение будет единое тогда,когда ранг матрицы == количевству уравнений(независимых переменных),то есть 3 в данном случае. Я обнуляю Гауссом и делаю,ступеньки,короче говоря нахожу ранг,вроде проверил и всё ок,в конце вышел ранг 3 и он:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} a,1,1 || a \\ 0,(1-ab)(1-a),(1-a)(1-a) || (a-ab)(1-a) \\ 0,0,(1-a)(1-a)-(1-ab)(1-ac) || (a-ab)(1-a)-(a-ac)(1-ab)\end{pmatrix}$
P.S. Извините пожалуйста за каличное оформление.. Я так понимаю,нужно приравнять рядочки к нулю, и когда они не будут равняться нулю,тогда будет единственное решение? чтобы ранг не нарушался?

@jogano · 11.05.2017, 00:22

Здесь легче проверять Крамером. Вам же не нужны все возможные случаи, а только единственное решение.
Нужно найти определитель матрицы 3*3, он равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?abc-\left(a+b+c \right)+2$ , для единственности он должен быть не равен 0. И дальше продолжаете Крамером, и получаете ответ
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y;z \right)=\left(1-2\frac{b+c+bc+1}{abc-\left(a+b+c \right)+2}; 1-2\frac{a+c+ac+1}{abc-\left(a+b+c \right)+2};1-2\frac{a+b+ab+1}{abc-\left(a+b+c \right)+2}\right)$
P.S. Для матриц есть специальная кнопка в редакторе формул - на самой правой серой панели левая кнопка. И будет красиво:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}a & 1 & 1\\ 1 & b & 1\\ 1 & 1 & c\end{matrix}\left|\begin{matrix}a\\\\ b\\\\ c\end{matrix} \right. \right)$ . Вертикальная линия делается так: \left| \right. , а между этими тегами вставляете матрицу 3*1 (столбец свободных членов). И всё это обрамляете скобками \left( \right)

@Skalpel02 · 11.05.2017, 00:37 **[ТС]**

Действительно) Всё получилось,спасибо большое,всё не так сложно как оказалось.

@Skalpel02 10 / 10 / 9 Регистрация: 21.09.2016 Сообщений: 103
		1
	При каком условии система уравнений имеет единственное решение? 10.05.2017, 20:30. Показов 6867. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Добрый час суток! Есть такая задача. В какой ситуации решение системы единое,выписать это решение. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} a ,1 , 1 \| a \\ 1 ,b , 1 \| b \\ 1 , 1 ,c \| c\end{pmatrix}$ Блин. Первый раз,извините пробелы не особо получились.. Насколько я понял,решение будет единое тогда,когда ранг матрицы == количевству уравнений(независимых переменных),то есть 3 в данном случае. Я обнуляю Гауссом и делаю,ступеньки,короче говоря нахожу ранг,вроде проверил и всё ок,в конце вышел ранг 3 и он: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} a,1,1 \|\| a \\ 0,(1-ab)(1-a),(1-a)(1-a) \|\| (a-ab)(1-a) \\ 0,0,(1-a)(1-a)-(1-ab)(1-ac) \|\| (a-ab)(1-a)-(a-ac)(1-ab)\end{pmatrix}$ P.S. Извините пожалуйста за каличное оформление.. Я так понимаю,нужно приравнять рядочки к нулю, и когда они не будут равняться нулю,тогда будет единственное решение? чтобы ранг не нарушался? 0

@jogano Модератор $Эксперт по математике/физике$ 6351 / 4060 / 1509 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	11.05.2017, 00:22	2
	Сообщение было отмечено Skalpel02 как решение Решение Здесь легче проверять Крамером. Вам же не нужны все возможные случаи, а только единственное решение. Нужно найти определитель матрицы 33, он равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?abc-\left(a+b+c \right)+2$ , для единственности он должен быть не равен 0. И дальше продолжаете Крамером, и получаете ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y;z \right)=\left(1-2\frac{b+c+bc+1}{abc-\left(a+b+c \right)+2}; 1-2\frac{a+c+ac+1}{abc-\left(a+b+c \right)+2};1-2\frac{a+b+ab+1}{abc-\left(a+b+c \right)+2}\right)$ P.S. Для матриц есть специальная кнопка в редакторе формул - на самой правой серой панели левая кнопка. И будет красиво: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}a & 1 & 1\\ 1 & b & 1\\ 1 & 1 & c\end{matrix}\left\|\begin{matrix}a\\\\ b\\\\ c\end{matrix} \right. \right)$ . Вертикальная линия делается так: \left\| \right. , а между этими тегами вставляете матрицу 31 (столбец свободных членов). И всё это обрамляете скобками \left( \right) 1

@Skalpel02 10 / 10 / 9 Регистрация: 21.09.2016 Сообщений: 103
	11.05.2017, 00:37 [ТС]	3
	Действительно) Всё получилось,спасибо большое,всё не так сложно как оказалось. 0

Опции темы

При каком условии система уравнений имеет единственное решение?

Решение