@jenya-100

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, доказать следствия аксиом порядка вещественных чисел.
Дано:
1. Для любых х, у из R либо х < y, либо y < x, либо x = y
2. Для любых x, y, z из R (x <= y) and (y <= z) следует, что (x <= z)
3. Для любого x из R (x <= x)
4. Для любых x, y, z из R если (x <= y), то (x + z) <= (y + z)
5. Для любых x, y, z из R если (x >= 0) and (y <= z), то (x*y) <= (x*z)

Видимо, чтобы доказать следующие следствия должно хватить этих аксиом, но, по-видимому, вполне можно использовать алгебраические аксиомы сложения:
существование нуля, коммутативность, ассоциативность и существование противоположного.

и аксиомы умножения: существование единицы, при умножении на которую число не меняется, причём
1 != 0; коммутативность, ассоциативность и существование противоположного для любого ненулевого элемента.

Нужно доказать:
1). 0 < 1 ЭТО ОСОБЕННО НАДО ДОКАЗАТЬ!
2). если a > 0, b > 0, то a + b > 0 и a*b > 0
3). если x != 0, то x*x > 0
Если кто-нибудь поможет, буду очень признательна.

0

@Eugeniy

jenya-100,
0 < 1 не откуда не следует. Если Вы предположите, что 0 = 1 тогда Вы получите известное поле F0 где будут
выполнятся все аксиомы поля и аксиомы линейного порядка
По-этому надо говорить, что 0<>1
Тогда возможны два случая: 1 > 0 либо 1 < 0
Пускай 1 < 0
Проверим, для начала Вашу 2-ю теорему: пусть a>0 и b>0 тогда из аксиомы 5. a*0 = 0 < a*b следовательно ab>0
Тогда легко проверить, что -2>0 и -3>0 и следовательно (-2)*(-3) = 6 > 0 противоречие
Стало быть 1 > 0
Дальше всё понятно.

1