Рекуррентное (разностное) уравнение

@Kais · Регистрация: 27.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

необходимо решить уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+2)-f(n)=n$ ;
f(0)=0,
f(1)=2
________________________________________ ___________
Пример:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+2)-f(n)= 0$
f(0)=1, n = 0, 1
с помощью z-преобразования:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+2)-f(n)= 0 |z$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f(z)-1}{z} - f(z)=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)(1-z)=1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)=\frac{1}{1-z} = {z}^{-1}$
после обратного преобразования
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n)=1$ - ответ

Вопрос:
скажите пожалуйста, что делать с "n" в уравнении f(n+2)-f(n)=n ?
или как решить другим способом?
в инете поиск о рекуррентных уравнениях выдает результат - дифференциальные уравнения.

Если не хотите решать, то хотя бы подскажите, где посмотреть решения подобных уравнений

@Том Ардер · 16.06.2013, 15:06

Метод производящих функций. Подобные задачи на форуме были.

Добавлено через 47 минут
Подсказка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(z^n)^'=n{z}^{n-1}$

@Kais · 16.06.2013, 21:16 **[ТС]**

Сообщение от Том Ардер

Метод производящих функций. Подобные задачи на форуме были.

Добавлено через 47 минут
Подсказка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(z^n)^'=n{z}^{n-1}$

Спасибо за ответ и за подсказку,
я нашла похожую задачу с вашим решением:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=f(x-1)+{a}^{x},$ если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(1)=1,$

Сообщение от Том Ардер

Для подобных задач хорошо работает метод производящих функций. Пусть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^nf(n)$

После суммирования обеих частей уравнения (начало суммирования с n=1)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n)=\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n-1)+\sum_{n=1}^{\infty}z^na^n$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)-F(0)=zF(z)+\frac{za}{1-za}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=\frac{1}{1-z}(F(0)+\frac{za}{1-za})$

Начальное условие:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(0)=f(0)=f(1)-a=1-a$

После разложения на элементарные дроби получаем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n)=1-a+\frac{a}{1-a}(1-a^n)$

первая строка моего решения, по образцу, получается так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n+2)-\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n)=\sum_{n=1}^{\infty}z^n n$

а дальше я не понимаю, откуда появилось F(0), как мы вообще в целом получаем эту строку и как потом добавляем условие f(0)=0, f(1)=2

подскажите пожалуйста

@Том Ардер · 16.06.2013, 21:48

Пусть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(n)z^n$

Тогда после небольшой игры с индексами и показателями
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}f(n+2)z^n=\frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}f(n+2)z^{n+2}=\frac{1}{z^2}\sum_{n=2}^{\infty}f(n)z^{n}=\frac{1}{z^2}(F(z)-f(0)-f(1)z)$

Для правой части я уже подсказал. Сделайте самостоятельно.

@Kais · 16.06.2013, 22:15 **[ТС]**

ваш образец был для f(n+2)?

тогда для f(n) так?..
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}f(n)z^n=\sum_{n=2}^{\infty}f(n)z^{n}=(F(z)-f(0)-f(1)z)$
наверно нет... но других мыслей тоже нет..

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Вопросы на собеседованиях по микросервисам ArchitectMsa 27.03.2025 Работодатели ищут не просто разработчиков, знающих базовые концепции, а специалистов, разбирающихся в тонкостях масштабирования, отказоустойчивости и производительности. Сейчас на первый план выходят. . .	Взаимодействие Python с REST API py-thonny 27.03.2025 REST API - это архитектурный стиль взаимодействия компонентов распределённого приложения в сети. Python располагает функциональным набором инструментов для работы с REST API и основная библиотека для. . .	sshd restrictions, ssh access limitations jigi33 26.03.2025 sshd restrictions \| ssh access limitations рестрикции доступа на сервер sshd статья: https:/ / www. golinuxcloud. com/ restrict-allow-ssh-certain-users-groups-rhel	Компиляция C++ с Clang API NullReferenced 24.03.2025 Компиляторы обычно воспринимаются как черные ящики, которые превращают исходный код в исполняемые файлы. Мы запускаем компилятор командой в терминале, и вуаля — получаем бинарник. Но что если нужно. . .	Многопоточное программирование в C#: Класс Thread UnmanagedCoder 24.03.2025 Когда запускается приложение на компьютере, операционная система создаёт для него процесс - виртуальное адресное пространство. В C# этот процесс изначально получает один поток выполнения — главный. . .
SwiftUI Data Flow: Передача данных между представлениями mobDevWorks 23.03.2025 При первом знакомстве со SwiftUI кажется, что фреймворк предлагает избыточное количество механизмов для передачи данных: @State, @Binding, @StateObject, @ObservedObject, @EnvironmentObject и другие. . . .	Моки в Java: Сравниваем Mockito, EasyMock, JMockit Javaican 23.03.2025 Как протестировать класс, который зависит от других сложных компонентов, таких как базы данных, веб-сервисы или другие классы, с которыми и так непросто работать в тестовом окружении? Для этого и. . .	Архитектурные паттерны микросервисов: ТОП-10 шаблонов ArchitectMsa 22.03.2025 Популярность микросервисной архитектуры объясняется множеством важных преимуществ. К примеру, она позволяет командам разработчиков работать независимо друг от друга, используя различные технологии и. . .	Оптимизация рендеринга в Unity: Сортировка миллиона спрайтов GameUnited 22.03.2025 Помните, когда наличие сотни спрайтов в игре приводило к существенному падению производительности? Время таких ограничений уходит в прошлое. Сегодня геймдев сталкивается с задачами совершенно иного. . .	Образование и практика Igor3D 21.03.2025 Добрый день А вот каково качество/ эффективность ВУЗовского образования? Аналитическая геометрия изучается в первом семестре и считается довольно легким курсом, что вполне справедливо. Ну хорошо,. . .

@Kais 2 / 2 / 0 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 18

	Рекуррентное (разностное) уравнение 16.06.2013, 14:07. Показов 974. Ответов 4 Метки нет (Все метки) необходимо решить уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+2)-f(n)=n$ ; f(0)=0, f(1)=2 ________________________________________ ___________ Пример: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+2)-f(n)= 0$ f(0)=1, n = 0, 1 с помощью z-преобразования: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n+2)-f(n)= 0 \|z$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{f(z)-1}{z} - f(z)=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)(1-z)=1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)=\frac{1}{1-z} = {z}^{-1}$ после обратного преобразования $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n)=1$ - ответ Вопрос: скажите пожалуйста, что делать с "n" в уравнении f(n+2)-f(n)=n ? или как решить другим способом? в инете поиск о рекуррентных уравнениях выдает результат - дифференциальные уравнения. Если не хотите решать, то хотя бы подскажите, где посмотреть решения подобных уравнений 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	16.06.2013, 15:06
	Метод производящих функций. Подобные задачи на форуме были. Добавлено через 47 минут Подсказка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(z^n)^'=n{z}^{n-1}$ 0

@Kais 2 / 2 / 0 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 18
	16.06.2013, 21:16 [ТС]
	Сообщение от Том Ардер Метод производящих функций. Подобные задачи на форуме были. Добавлено через 47 минут Подсказка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(z^n)^'=n{z}^{n-1}$ Спасибо за ответ и за подсказку, я нашла похожую задачу с вашим решением: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=f(x-1)+{a}^{x},$ если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(1)=1,$ Сообщение от Том Ардер Для подобных задач хорошо работает метод производящих функций. Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^nf(n)$ После суммирования обеих частей уравнения (начало суммирования с n=1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n)=\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n-1)+\sum_{n=1}^{\infty}z^na^n$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)-F(0)=zF(z)+\frac{za}{1-za}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=\frac{1}{1-z}(F(0)+\frac{za}{1-za})$ Начальное условие: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(0)=f(0)=f(1)-a=1-a$ После разложения на элементарные дроби получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n)=1-a+\frac{a}{1-a}(1-a^n)$ первая строка моего решения, по образцу, получается так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n+2)-\sum_{n=1}^{\infty}z^nf(n)=\sum_{n=1}^{\infty}z^n n$ а дальше я не понимаю, откуда появилось F(0), как мы вообще в целом получаем эту строку и как потом добавляем условие f(0)=0, f(1)=2 подскажите пожалуйста 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3413 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	16.06.2013, 21:48
	Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(n)z^n$ Тогда после небольшой игры с индексами и показателями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}f(n+2)z^n=\frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}f(n+2)z^{n+2}=\frac{1}{z^2}\sum_{n=2}^{\infty}f(n)z^{n}=\frac{1}{z^2}(F(z)-f(0)-f(1)z)$ Для правой части я уже подсказал. Сделайте самостоятельно. 0

@Kais 2 / 2 / 0 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 18
	16.06.2013, 22:15 [ТС]
	ваш образец был для f(n+2)? тогда для f(n) так?.. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}f(n)z^n=\sum_{n=2}^{\infty}f(n)z^{n}=(F(z)-f(0)-f(1)z)$ наверно нет... но других мыслей тоже нет.. 0

Опции темы