Олимпиада УрФУ по математике 24 ноября 2013 г

Запись от Igor размещена 29.11.2013 в 12:58
Обновил(-а) Igor 29.11.2013 в 14:37

Часть A (физико-математические специальности)

1.

(Веретенников Б.М.) Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha \ >\ 2,\ \alpha \in R.$ Подобрать функцию
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ , определённую на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[1,+\infty )$ , такую, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{+\infty }f(x)dx$ сходился, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{+\infty }{f}^{\alpha }(x)dx$ расходился.

(Полищук Е.Г.) Доказать, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{{1}^{2013}+{2}^{2013}+{3}^{2013}+...+{n}^{2013}}{{n}^{2014}}=\frac{1}{2014}.$

(Мохрачева Л.П.) Доказать, что для любых матриц $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\ n\times m$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B\ m\times n$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m\ <\ n\ AB\neq E.$

(Веретенников Б.М.) Решить систему в целых числах
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{cases} & \text{} 13x+18y-12z=43 \\ & \text{} 16x+11y-14z=41 \end{cases}.$

(Мохрачева Л.П.) Найти длину линии пересечения цилиндров $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1,\ {x}^{2}+\frac{4{z}^{2}}{3}=4.$

(Смирнова Е.В.) Касательные к параболе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{2}=2px$ в точках $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A,\ B,\ C$ образуют треугольник $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?KLM.$ Докажите, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{ABC}=2{S}_{KLM}.$

(Веретенников Б.М.) Для любой вещественной матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(A)$ - вещественное линейное пространство всех вещественных матриц $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ , перестановочных с $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ , т.е. таких, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?XA=AX\ .$ Может ли размерность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L(A)$ быть равной 3 для какой-либо матрицы 2-ог порядка?

(Нохрин С.Э.) На листе миллиметровой бумаги нарисовали декартову систему координат так, что оси координат проходят по линиям сетки, а длина единичного отрезка 10 см. В этой системе координат изобразили часть параболы - графика функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y={x}^{2}$ , лежащую между точками $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;\ 0)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1;\ 1).$ На этом графике отметили все точки, в которых он пересёкся с линиями миллиметровой сетки(как с вертикальными, так и с горизонтальными). Сколько всего точек отметили?

(Смирнова Е.В.) Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1},\ {a}_{2},\ ...,\ {a}_{n}$ - положительные числа. Докажите, что многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={x}^{n}-{a}_{1}{x}^{n-1}-{a}_{2}{x}^{n-2}-...-{a}_{n}$ имеет ровно один положительный корень.

10.

(Мохрачева Л.П.) Функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{1}=1,\ {y}_{2}=x,\ {y}_{3}={x}^{2}$ являются частными решениями линейного неоднородного уравнения второго порядка. Найдите все решения уравнения, которые симметричны относительно прямой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1.$

Часть B (общетехнические, естественнонаучные и гуманитарные специальности)

1.

(Ходак Г.Л.) К голодающему студенту один за другим приходят гости. Каждый приносит 5 пирожков. До прихода следующего гостя хозяин и пришедшие успевают съесть по одному пирожку. После прихода последнего гостя пирожков на всех не хватило и их есть не стали. Сколько пирожков осталось?

(Веретенников Б.М.) Доказать, что многочлен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)={x}^{2013}+{x}^{2012}+{x}^{2011}+...+{x}^{2}+x+2017$ нельзя разложить в произведение двух многочленов ненулевых степеней с целыми коэффициентами.

(Мохрачева Л.П.) Вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{x}$ имеет равные углы с векторами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1,0,2),\ (0,1,2)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\lambda ,\lambda ,2).$ При каком значении параметра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ этот угол будет иметь наименьшее значение?

(Ходак Г.Л.) Решите уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos (\frac{1}{2}\cos x)=\sin (\frac{1}{2}\sin x).$

(Веретенников Б.М.) Найти значение производной
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial }{\partial y}(\frac{{\partial }^{2013}}{\partial {x}^{2013}}{x}^{2012}{e}^{yx})$ в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1,0).$

(Полищук Е.Г.) Доказать, что последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n}=1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+...+\frac{1}{{n}^{2}}$ сходится.

(Расин О.В.) После завершения волейбольного турнира, проведённого по круговой системе (каждая команда встречается с каждой и ничьи не возможны) оказалось, что ни одна из команд не проиграла всех встреч. Доказать, что существуют три команды $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A,\ B$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ такие, что команда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ выиграла у команды $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B$ , команда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B$ выиграла у команды $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ , а команда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ выиграла у команды $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A.$

(Ходак Г.Л.) Даны прямая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+y=2$ и две точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A(-1,0),\ B(1,0).$ Из какой точки прямой отрезок $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB$ виден под наибольшим углом?

(Веретенников Б.М.) Найти площадь фигуры на плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xOy$ , точки которой имеют вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(3u+4v,\ 5u-3v)\ -3\leq u\leq 1,\ 4\leq v\leq 8.$ Вычисления обосновать.

10.

(Мохрачева Л.П.) Точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A$ движется по окружности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}=2$ (м²) со скоростью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{V}_{1}=3$ м/с, а точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B$ по окружности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{2}+{y}^{2}=4$ (м²) со скоростью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{V}_{2}=5$ м/с. В момент $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}_{0}=0$ их координаты равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\sqrt{2},0)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2,0)$ , соответственно. Найдите наименьшее значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t>0$ , при котором расстояние между ними будет наибольшим.

Размещено в Без категории

Показов 8203 Комментарии 21

Главная страница The 75th William Lowell Putnam Mathematical Competition Saturday, December 6, 2014 »

Всего комментариев 21

Комментарии

1 из 2

Ч. B

1. Если гостей n, то всего принесено 5n пирожков. До прихода 2 гостя съедено 2 пирожка, до прихода 3 гостя 3+2 пирожка, до прихода n-ого съедено $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=2}^nk=\frac{(2+n)(n-1)}{2}$ . Итого после прихода n-ого гостя будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5n-\frac{(2+n)(n-1)}{2}\lt n+1$ . Получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^2-7n\gt 0$ , n=8,9,10,... Кроме того, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5n-\frac{(2+n)(n-1)}{2} \geq 0$ , поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n^2-9n-2 \leq 0$ и n<10, т.е. возможные значения n=8 и n=9. При n=8 остается 5 пирожков, случай n=9 исключается, т.к. перед приходом девятого останется -4 пирожка, что невозможно. Ответ: останется 5 пирожков.

Запись от cmath размещена 29.11.2013 в 15:12 cmath вне форума

	cmath, самой популярной задачкой оказалась.) А я просто табличку составлял.
	Запись от Igor размещена 29.11.2013 в 16:52 Обновил(-а) Igor 29.11.2013 в 16:59

	не совсем понимаю это вы кому-то предлагаете или сами решаете ? или она уже прошла, а вы её продемонстрировать захотели и 4а можно же через матрицу решить ?
	Запись от TTT34 размещена 29.11.2013 в 17:45

Цитата:

Сообщение от TTT34

не совсем понимаю
это вы кому-то предлагаете или сами решаете ?
или
она уже прошла, а вы её продемонстрировать захотели
и
4а можно же через матрицу решить ?

Дать возможность порешать другим.
Естественно прошла. Написано ведь.

И какая там матрица?
P.S. я просто выражал одно через другое, потом накладывал ограничения и т.д.

Запись от Igor размещена 29.11.2013 в 18:10 Igor вне форума

	Цитата: Сообщение от Igor И какая там матрица? через матрицу одна переменная независима две других выражаются через независимую
	Запись от TTT34 размещена 29.11.2013 в 21:10

Ч. B

4. Уравнение не имеет решений (в действительных числах). По формулам приведения получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \alpha = \sin (\alpha + \frac{\pi}{2})$ И уже отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin (\frac{\cos x +\pi}{2})=\sin \frac{\sin x}{2},\;\Rightarrow \cos x +\pi=\sin x$ Графики функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos x +\pi,\;\sin x$ не пересекаются.

Запись от cmath размещена 30.11.2013 в 05:08 cmath вне форума

	cmath, нужно рассмотреть все случаи. А ответ верный.
	Запись от Igor размещена 30.11.2013 в 09:20

	A.3 Дополним A справа до квадратной нулями. Дополним B снизу до квадратной нулями. Сие сатанинское действо не изменит произведения.
	Запись от iifat размещена 30.11.2013 в 09:49

	А2. Стандартная задача на интегральную сумму.
	Запись от TrushkovVV размещена 03.12.2013 в 22:54

	Цитата: Сообщение от TrushkovVV А2. Стандартная задача на интегральную сумму. Это да. Можно Штольцем. Но интегральная сумма больше бросается в глаза.)
	Запись от Igor размещена 04.12.2013 в 22:28 Обновил(-а) Igor 05.12.2013 в 08:32

	А9 Разность монотонных функций. Легко показать, что эта разность меняет знак на [0, енф). А1 Любая ф-я вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{x - a}}*g(x)$ g(x) - любая ф-я дающая сходимость на бесонечности а > 1
	Запись от Ilot размещена 13.12.2013 в 14:23 Обновил(-а) Ilot 13.12.2013 в 14:27

	Кстати А4 можно малось упростить вычев из правой части левую для каждого уравнения. Люблю значится такие задачки. Спасибо Igor.
	Запись от Ilot размещена 13.12.2013 в 14:41

	А5 Легко заметить, что кривулька пересечения есть круг радиуса 2.
	Запись от Ilot размещена 13.12.2013 в 14:51

	Цитата: Сообщение от Ilot Спасибо Igor. Всегда пожалуйста!
	Запись от Igor размещена 13.12.2013 в 21:58

	Цитата: А9 Разность монотонных функций. Легко показать, что эта разность меняет знак на [0, енф) Корни есть — очевидно. А вот что ровно один — что-то у меня пока не получается.
	Запись от iifat размещена 14.12.2013 в 07:35 Обновил(-а) iifat 14.12.2013 в 07:37

A9
Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=0$ , т.е.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{n}={a}_{1}{x}^{n-1}+{a}_{2}{x}^{n-2}+...+{a}_{n}$ .

Поделим обе стороны равенства на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{n}$ :

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1=\frac{{a}_{1}}{x}+\frac{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+\frac{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ .

Правая часть монотонно убывает для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\ >\ 0$ .

Запись от Igor размещена 14.12.2013 в 16:14 Igor вне форума

	Вот ёлки, а я-то себе голову ломаю. Собирался уже Штурмом. Спасибо.
	Запись от iifat размещена 14.12.2013 в 20:15

	А7. Нет. Если решить матричное уравнение XA=AX, то получим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> X=C_1\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}0 & a_2 \\ a_3 & a_4 - a_1\end{pmatrix}$ , т.е. ФСР состоит всего из двух компонент.
	Запись от cmath размещена 17.05.2014 в 08:42

	А10. Все симметричные относительно x=1 решения имеют вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_1(x-1)^2+C_2$ . *** Объяснить пока не могу. Тут надо показать, что базис выражается через x², x и 1.
	Запись от cmath размещена 17.05.2014 в 09:12

Цитата:

Сообщение от cmath

А10. Все симметричные относительно x=1 решения имеют вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_1(x-1)^2+C_2$ .
***
Объяснить пока не могу. Тут надо показать, что базис выражается через x², x и 1.

Проверка показала, что C₂ может равняться только 1.)

Запись от Igor размещена 13.07.2014 в 17:12 Igor вне форума

1 из 2

Сообщение форума

Отменить изменения

Архив
< Апрель 2023
Вс	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб
26	27	28	29	30	31	1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	1	2	3	4	5	6