Олимпиада УрФУ по математике 24 ноября 2013 г
Метки олимпиада по математике
Часть A (физико-математические специальности) 1. (Веретенников Б.М.) Пусть Подобрать функцию2. (Полищук Е.Г.) Доказать, что3. (Мохрачева Л.П.) Доказать, что для любых матриц и ,4. (Веретенников Б.М.) Решить систему в целых числах5. (Мохрачева Л.П.) Найти длину линии пересечения цилиндров6. (Смирнова Е.В.) Касательные к параболе в точках образуют треугольник Докажите, что7. (Веретенников Б.М.) Для любой вещественной матрицы обозначим - вещественное линейное пространство всех вещественных матриц , перестановочных с , т.е. таких, что Может ли размерность быть равной 3 для какой-либо матрицы 2-ог порядка?8. (Нохрин С.Э.) На листе миллиметровой бумаги нарисовали декартову систему координат так, что оси координат проходят по линиям сетки, а длина единичного отрезка 10 см. В этой системе координат изобразили часть параболы - графика функции , лежащую между точками и На этом графике отметили все точки, в которых он пересёкся с линиями миллиметровой сетки(как с вертикальными, так и с горизонтальными). Сколько всего точек отметили?9. (Смирнова Е.В.) Пусть - положительные числа. Докажите, что многочлен имеет ровно один положительный корень.10. (Мохрачева Л.П.) Функции являются частными решениями линейного неоднородного уравнения второго порядка. Найдите все решения уравнения, которые симметричны относительно прямойЧасть B (общетехнические, естественнонаучные и гуманитарные специальности) 1. (Ходак Г.Л.) К голодающему студенту один за другим приходят гости. Каждый приносит 5 пирожков. До прихода следующего гостя хозяин и пришедшие успевают съесть по одному пирожку. После прихода последнего гостя пирожков на всех не хватило и их есть не стали. Сколько пирожков осталось?2. (Веретенников Б.М.) Доказать, что многочлен нельзя разложить в произведение двух многочленов ненулевых степеней с целыми коэффициентами.3. (Мохрачева Л.П.) Вектор имеет равные углы с векторами и При каком значении параметра этот угол будет иметь наименьшее значение?4. (Ходак Г.Л.) Решите уравнение5. (Веретенников Б.М.) Найти значение производной6. (Полищук Е.Г.) Доказать, что последовательность сходится.7. (Расин О.В.) После завершения волейбольного турнира, проведённого по круговой системе (каждая команда встречается с каждой и ничьи не возможны) оказалось, что ни одна из команд не проиграла всех встреч. Доказать, что существуют три команды и такие, что команда выиграла у команды , команда выиграла у команды , а команда выиграла у команды8. (Ходак Г.Л.) Даны прямая и две точки Из какой точки прямой отрезок виден под наибольшим углом?9. (Веретенников Б.М.) Найти площадь фигуры на плоскости , точки которой имеют вид Вычисления обосновать.10. (Мохрачева Л.П.) Точка движется по окружности (м2) со скоростью м/с, а точка по окружности (м2) со скоростью м/с. В момент их координаты равны и , соответственно. Найдите наименьшее значение , при котором расстояние между ними будет наибольшим. |
Всего комментариев 21
Комментарии
-
Ч. B
1. Если гостей n, то всего принесено 5n пирожков. До прихода 2 гостя съедено 2 пирожка, до прихода 3 гостя 3+2 пирожка, до прихода n-ого съедено . Итого после прихода n-ого гостя будет . Получим , n=8,9,10,... Кроме того, , поэтому и n<10, т.е. возможные значения n=8 и n=9. При n=8 остается 5 пирожков, случай n=9 исключается, т.к. перед приходом девятого останется -4 пирожка, что невозможно. Ответ: останется 5 пирожков.Запись от cmath размещена 29.11.2013 в 15:12 -
cmath, самой популярной задачкой оказалась.) А я просто табличку составлял.
Запись от Igor размещена 29.11.2013 в 16:52
Обновил(-а) Igor 29.11.2013 в 16:59 -
Запись от TTT34 размещена 29.11.2013 в 17:45 -
Цитата:
Естественно прошла. Написано ведь.
И какая там матрица?
P.S. я просто выражал одно через другое, потом накладывал ограничения и т.д.Запись от Igor размещена 29.11.2013 в 18:10 -
Запись от TTT34 размещена 29.11.2013 в 21:10 -
Запись от cmath размещена 30.11.2013 в 05:08 -
cmath, нужно рассмотреть все случаи. А ответ верный.
Запись от Igor размещена 30.11.2013 в 09:20 -
A.3 Дополним A справа до квадратной нулями. Дополним B снизу до квадратной нулями. Сие сатанинское действо не изменит произведения.
Запись от iifat размещена 30.11.2013 в 09:49 -
А2. Стандартная задача на интегральную сумму.
Запись от TrushkovVV размещена 03.12.2013 в 22:54 -
Запись от Igor размещена 04.12.2013 в 22:28
Обновил(-а) Igor 05.12.2013 в 08:32 -
Запись от Ilot размещена 13.12.2013 в 14:23
Обновил(-а) Ilot 13.12.2013 в 14:27 -
Запись от Ilot размещена 13.12.2013 в 14:41 -
Запись от Ilot размещена 13.12.2013 в 14:51 -
Запись от Igor размещена 13.12.2013 в 21:58 -
Цитата:А9 Разность монотонных функций. Легко показать, что эта разность меняет знак на [0, енф)
Запись от iifat размещена 14.12.2013 в 07:35
Обновил(-а) iifat 14.12.2013 в 07:37 -
A9
Пусть , т.е.
.Поделим обе стороны равенства на :
.Правая часть монотонно убывает для .Запись от Igor размещена 14.12.2013 в 16:14 -
Вот ёлки, а я-то себе голову ломаю. Собирался уже Штурмом. Спасибо.
Запись от iifat размещена 14.12.2013 в 20:15 -
Запись от cmath размещена 17.05.2014 в 08:42 -
Запись от cmath размещена 17.05.2014 в 09:12 -
Запись от Igor размещена 13.07.2014 в 17:12