Комбинаторно- вероятностный смысл константы пи, гамма функция и обобщение константы пи

@ivashenko · Регистрация: 25.10.2014

Добавлено через 33 минуты
Известна формула для выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \sqrt\pi=2^N{\frac{\Gamma(\frac{N+2}{2})\Gamma(\frac{N+1}{2})}{\Gamma(N+1)} }$
Допустим существует множество N, элементы которого могут принимать 2 состояния. Для такого множества
сомножитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^N$ представляет собой количество (обьем) всех его состояний. Или другими словами это маска двоичного N-разрядного слова. Рассмотрим сомножитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\Gamma(\frac{N+2}{2})\cdot\Gamma(\frac{N+1}{2})}{\Gamma(N+1)}$ , очень уж он напоминает перевернутую формулу для количества сочетаний $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? C_{N}^{\frac{N}{2} }=\frac{N!}{{\frac{N}{2}}!{\frac{N}{2}}!}$ , которая отражает количество симметричных состояний множества, разбитого на 2 почти равные части. А вся формула для выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ могла бы интерпретироваться как отношение количества всех состояний множества к количеству симметричных состояний множества разбитого на две почти равные части или величину обратно пропорциональную вероятности состояния $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {\frac{N}{2}}$ . Но вся засада в этом "почти". Ведь гамма функция от дробного числа лишает такого простого смысла. Но именно она делает справедливой данную формулу для любых целых N, именно в ней заложена взаимосвязь элемента и множества. Возможно какое то отображение друг на друга. Именно благодаря ей $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ приобретает смысл инварианта состояния независимо от размера множества.
Существуют также аналоги числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ для разбиения множеств m- ричных элементов на m равных частей , которые являются инвариантами относительно размера множества - N.
Предлагаю ознакомиться со свойствами функции, порождающей множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ -подобных констант.
1). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi(m)= \left(m^N\frac{\Gamma(\frac{m+N}{m})\Gamma(\frac{m+N-1}{m})...\Gamma(\frac{N+1}{m})}{\Gamma(N+1)}\right)^m =(\frac{(2\pi)^{m-1}}{m})^\frac{m}{2}$ , где N - количество m- ричных элементов множества.

2). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{m\to\infty} \left(\frac{\pi(m)}{\pi(m-1)}\right) = (\pi^{\frac{1}{m}}(m)\sqrt m)^{\frac{1}{m-1}}= \sqrt{2\pi(2)}$

3). Известна кси функция Римана:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R(m)=\frac{\Gamma(\frac{m-1}{2})}{2\pi^{\frac{m+1}{2}}}$ ,
Получено следующее выражение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R(m-1)R(m-2)=\frac{\Gamma(m-1)}{2m\pi^{\frac{2}{m}}(m)}=\frac{\Gamma(m-1)}{2^m\pi^{m-1}}$ .

4). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \pi(m)=\pi^{\frac{m^2-2}{k^2-2}}(k)(\frac{k^\frac{m-1}{k-1}}{m})^{\frac{m}{2}}$

GpHUO7uk · 29.10.2014, 04:11

И чё?

@ivashenko · 29.10.2014, 07:15 **[ТС]**

Да так, ничего, просто мимо проходил.

@Mysterious Light · 29.10.2014, 11:50

ivashenko, оформите Ваши мысли в виде pdf или хотя бы doc(x), пожалуйста.

Дело в том, что этот текст сложно читается из-за «прыгающих» формул.

Кроме это, хорошо бы приложить ссылки на базовую литературу по этому вопросу, которые Вы использовали.
В частности, под фразой «Известна формула для выражения», и объяснить некоторые обозначения, например, (это набор констант, которые сходятся к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ при больших m или они самостоятельны?).

P.S. в одной из формул \frac{m}{2} не окружено фигурными скобками {...}, из-за чего дробь встала не в верхний индекс, а просто текстом m2.

@ivashenko · 29.10.2014, 14:23 **[ТС]**

Сообщение от Mysterious Light

оформите Ваши мысли в виде pdf или хотя бы doc(x), пожалуйста.

Дело в том, что этот текст сложно читается из-за «прыгающих» формул.

Попробую на досуге , правда никогда не набирал формул в этих форматах, может не получиться.

Сообщение от Mysterious Light

Кроме это, хорошо бы приложить ссылки на базовую литературу по этому вопросу, которые Вы использовали.
В частности, под фразой «Известна формула для выражения», и объяснить некоторые обозначения, например, (это набор констант, которые сходятся к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ при больших m или они самостоятельны?).

К сожалению я уже не помню, откуда впервые узнал "известную формулу", но точно помню, что встречал её и в учебной литературе и в сети. Что же касаемо списка использованной литературы - я её не использовал. Ряд констант замечателен тем, что все данные константы не зависят от размера множества N, например при m=2 формула дает значение константы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ независимо от N. Все константы иррациональны и связаны между собой. Я предполагаю, что полученное мной выражение содержит в неявном виде биективное отображение фрактального множества и элемента множества. А константы имеют смысл вероятности возникновения определённого фрактального состояния. Также почти уверен, что в данные константы имеют взаимосвязь с какими - то гипергеометрическими представлениями. Мне интересно проникнуть в смысл гамма функции, например факториал - даёт количество перестановок в обычном множестве, я предполагаю, что гамма функция также как и факториал, даёт количество перестановок определённого типа, но только во фрактальном множестве.

Сообщение от Mysterious Light

P.S. в одной из формул \frac{m}{2} не окружено фигурными скобками {...}, из-за чего дробь встала не в верхний индекс, а просто текстом m2.

Просто не успел отредактировать за 5 минут.

Спасибо за конструктивную критику и проявленный интерес, уважаемый Mysterious Light.

Добавлено через 16 минут
Данное выражение я получил более 10 лет назад, недавно узнал, что этот ряд констант был получен несколько лет назад совершенно из других соображений американскими математиками, их работы были опубликованы в журнале математического общества Америки.

@Том Ардер · 29.10.2014, 14:54

Сообщение от ivashenko

Известна формула для выражения

формула Лежандра для удвоения аргумента Г-функции - Бейтмен, ВТФ, 1.2(15).

1) также известна - формула умножения Гаусса-Лежандра, ibid, 1.2(11).

Дальше не смотрел.

@ivashenko · 29.10.2014, 20:40 **[ТС]**

Кстати, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ формально можно представить в виде:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi={(\frac{2^N}{N})}^2C_N^{\frac{N}{2}}C_{N-1}^{\frac{N-1}{2}}$

Данное выражение я получил более 10 лет назад, недавно узнал, что этот ряд констант был получен несколько лет назад совершенно из других соображений американскими математиками, их работы были опубликованы в журнале математического общества Америки.

Выкладывают статьи американцев Жан Ленг, Дэвид Эдмундс "Обобщенные тригонометрические функции с различных точек зрения", а также статью авторов Lindqvist, Peetre, Borwein " Обобщенные тригонометрические функции"
Буду признателен, если кто - либо их квалифицированно переведет, потому как я не владея английским, имею представление о содержании, исходя лишь из математического контекста статей и возможно упустил что-то важное. Надеюсь данная тема будет интересна.

@ivashenko 10 / 7 / 1 Регистрация: 25.10.2014 Сообщений: 184
		1
	Комбинаторно- вероятностный смысл константы пи, гамма функция и обобщение константы пи 28.10.2014, 20:42. Просмотров 1452. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Добавлено через 33 минуты Известна формула для выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \sqrt\pi=2^N{\frac{\Gamma(\frac{N+2}{2})\Gamma(\frac{N+1}{2})}{\Gamma(N+1)} }$ Допустим существует множество N, элементы которого могут принимать 2 состояния. Для такого множества сомножитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2^N$ представляет собой количество (обьем) всех его состояний. Или другими словами это маска двоичного N-разрядного слова. Рассмотрим сомножитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\Gamma(\frac{N+2}{2})\cdot\Gamma(\frac{N+1}{2})}{\Gamma(N+1)}$ , очень уж он напоминает перевернутую формулу для количества сочетаний $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? C_{N}^{\frac{N}{2} }=\frac{N!}{{\frac{N}{2}}!{\frac{N}{2}}!}$ , которая отражает количество симметричных состояний множества, разбитого на 2 почти равные части. А вся формула для выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ могла бы интерпретироваться как отношение количества всех состояний множества к количеству симметричных состояний множества разбитого на две почти равные части или величину обратно пропорциональную вероятности состояния $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {\frac{N}{2}}$ . Но вся засада в этом "почти". Ведь гамма функция от дробного числа лишает такого простого смысла. Но именно она делает справедливой данную формулу для любых целых N, именно в ней заложена взаимосвязь элемента и множества. Возможно какое то отображение друг на друга. Именно благодаря ей $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ приобретает смысл инварианта состояния независимо от размера множества. Существуют также аналоги числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ для разбиения множеств m- ричных элементов на m равных частей , которые являются инвариантами относительно размера множества - N. Предлагаю ознакомиться со свойствами функции, порождающей множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ -подобных констант. 1). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi(m)= \left(m^N\frac{\Gamma(\frac{m+N}{m})\Gamma(\frac{m+N-1}{m})...\Gamma(\frac{N+1}{m})}{\Gamma(N+1)}\right)^m =(\frac{(2\pi)^{m-1}}{m})^\frac{m}{2}$ , где N - количество m- ричных элементов множества. 2). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{m\to\infty} \left(\frac{\pi(m)}{\pi(m-1)}\right) = (\pi^{\frac{1}{m}}(m)\sqrt m)^{\frac{1}{m-1}}= \sqrt{2\pi(2)}$ 3). Известна кси функция Римана: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R(m)=\frac{\Gamma(\frac{m-1}{2})}{2\pi^{\frac{m+1}{2}}}$ , Получено следующее выражение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R(m-1)R(m-2)=\frac{\Gamma(m-1)}{2m\pi^{\frac{2}{m}}(m)}=\frac{\Gamma(m-1)}{2^m\pi^{m-1}}$ . 4). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \pi(m)=\pi^{\frac{m^2-2}{k^2-2}}(k)(\frac{k^\frac{m-1}{k-1}}{m})^{\frac{m}{2}}$ 0

GpHUO7uk 102 / 81 / 17 Регистрация: 08.06.2014 Сообщений: 316
	29.10.2014, 04:11	2
	И чё? 0

@ivashenko 10 / 7 / 1 Регистрация: 25.10.2014 Сообщений: 184
	29.10.2014, 07:15 [ТС]	3
	Да так, ничего, просто мимо проходил. 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4144 / 2048 / 422 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,102 Записей в блоге: 23
	29.10.2014, 11:50	4
	ivashenko, оформите Ваши мысли в виде pdf или хотя бы doc(x), пожалуйста. Дело в том, что этот текст сложно читается из-за «прыгающих» формул. Кроме это, хорошо бы приложить ссылки на базовую литературу по этому вопросу, которые Вы использовали. В частности, под фразой «Известна формула для выражения», и объяснить некоторые обозначения, например, (это набор констант, которые сходятся к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ при больших m или они самостоятельны?). P.S. в одной из формул \frac{m}{2} не окружено фигурными скобками {...}, из-за чего дробь встала не в верхний индекс, а просто текстом m2. 1

@ivashenko 10 / 7 / 1 Регистрация: 25.10.2014 Сообщений: 184
	29.10.2014, 14:23 [ТС]	5
	Сообщение от Mysterious Light оформите Ваши мысли в виде pdf или хотя бы doc(x), пожалуйста. Дело в том, что этот текст сложно читается из-за «прыгающих» формул. Попробую на досуге , правда никогда не набирал формул в этих форматах, может не получиться. Сообщение от Mysterious Light Кроме это, хорошо бы приложить ссылки на базовую литературу по этому вопросу, которые Вы использовали. В частности, под фразой «Известна формула для выражения», и объяснить некоторые обозначения, например, (это набор констант, которые сходятся к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ при больших m или они самостоятельны?). К сожалению я уже не помню, откуда впервые узнал "известную формулу", но точно помню, что встречал её и в учебной литературе и в сети. Что же касаемо списка использованной литературы - я её не использовал. Ряд констант замечателен тем, что все данные константы не зависят от размера множества N, например при m=2 формула дает значение константы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ независимо от N. Все константы иррациональны и связаны между собой. Я предполагаю, что полученное мной выражение содержит в неявном виде биективное отображение фрактального множества и элемента множества. А константы имеют смысл вероятности возникновения определённого фрактального состояния. Также почти уверен, что в данные константы имеют взаимосвязь с какими - то гипергеометрическими представлениями. Мне интересно проникнуть в смысл гамма функции, например факториал - даёт количество перестановок в обычном множестве, я предполагаю, что гамма функция также как и факториал, даёт количество перестановок определённого типа, но только во фрактальном множестве. Сообщение от Mysterious Light P.S. в одной из формул \frac{m}{2} не окружено фигурными скобками {...}, из-за чего дробь встала не в верхний индекс, а просто текстом m2. Просто не успел отредактировать за 5 минут. Спасибо за конструктивную критику и проявленный интерес, уважаемый Mysterious Light. Добавлено через 16 минут Данное выражение я получил более 10 лет назад, недавно узнал, что этот ряд констант был получен несколько лет назад совершенно из других соображений американскими математиками, их работы были опубликованы в журнале математического общества Америки. 0

@Том Ардер Модератор $Эксперт по математике/физике$ 4116 / 3168 / 376 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,484
	29.10.2014, 14:54	6
	Сообщение от ivashenko Известна формула для выражения формула Лежандра для удвоения аргумента Г-функции - Бейтмен, ВТФ, 1.2(15). 1) также известна - формула умножения Гаусса-Лежандра, ibid, 1.2(11). Дальше не смотрел. 1

@ivashenko 10 / 7 / 1 Регистрация: 25.10.2014 Сообщений: 184
	29.10.2014, 20:40 [ТС]	7
	Кстати, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ формально можно представить в виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi={(\frac{2^N}{N})}^2C_N^{\frac{N}{2}}C_{N-1}^{\frac{N-1}{2}}$ Данное выражение я получил более 10 лет назад, недавно узнал, что этот ряд констант был получен несколько лет назад совершенно из других соображений американскими математиками, их работы были опубликованы в журнале математического общества Америки. Выкладывают статьи американцев Жан Ленг, Дэвид Эдмундс "Обобщенные тригонометрические функции с различных точек зрения", а также статью авторов Lindqvist, Peetre, Borwein " Обобщенные тригонометрические функции" Буду признателен, если кто - либо их квалифицированно переведет, потому как я не владея английским, имею представление о содержании, исходя лишь из математического контекста статей и возможно упустил что-то важное. Надеюсь данная тема будет интересна. 0

Опции темы