Представление числа в двоичной системе счисления

1. Существует ли оптимальное основание системы счисления?

Посмотрим на график функции, изображенный на рисунке 1.
http://xax.al.ru/aout/b4.files/image001.gif

Нетрудно показать [8], что максимум достигается в точке х = е, где е – трансцендентное число, которое приближенно равно 2.71828… ( ©Эйлер ).

Поскольку е уже является основанием натурального логарифма, то основанием системы счисления для целых чисел быть не может. Вот такая логика.

Здесь мы запускаем второй закон природы, закон развития – струя дырочку найдет.

Воспользуемся услугами смешанной системы счисления, то есть системы счисления с несколькими основаниями.

Запишем число в виде поличлена

x = x0·q0 + x1·q1 + … + xn·qn . (2.1)

Взглянем формально на это выражение.

Здесь xi можно интерпретировать в качестве признаков, свойств, координат числа х.

Символы qi совсем не обязательно должны обозначать степенную функцию, просто в этом случае разложение (2.1) единственно, но такой мелочью можно пренебречь.

Вспомним формулы (1.3) – (1.5).

Выделим основное свойство системы счисления с постоянным основанием. Для этого добавим в (2.1) один разряд. Получим, что общее количество символов hq увеличилось на q символов, тогда как, общее количество чисел Nq возросло в q раз. Таким образом, имеем взаимно однозначное отображение

q·i ↔ qi , (2.2)

где i любое натуральное число, в нашем случае.

В смешанной системе счисления, добавление одного члена в формулу (2.1), очевидно, приведет к неравномерному увеличению hq , но отображение (2.2) должно оставаться взаимно однозначным.

Далее, поскольку число е лежит между 2 и 3, то основания смешанной системы счисления попытаемся найти в виде линейной смеси двоек и троек. Для этого, перепишем соотношение (2.2) в следующем виде

2·a + 3·b ↔ 2a·3b , (2.3)

где a и b пока не определенные целые индексы.

Подгоним a и b так, чтобы сохранялось условие взаимной обратимости отображения (2.3). В итоге получим результат в виде следующего правила – индекс b пробегает всю область натуральных чисел, а индекс a только 0,1,2.

Посмотрим, что получилось.

Изменяя индексы a и b , таким нехитрым способом, мы можем добиться того, что hab изменяется равномерно на единицу, как будто мы используем систему счисления с основанием равным единице. Далее, Nab изменяется уж очень знакомо, получается так, что ряд, образованный троичной системой счисления ( 3b , 2·3b ) разбавлен числами 4·3b, но в следующей последовательности

( 3b , 4·3b , 2·3b ) , (2.4)

или как показано на рисунке 2.



Рисунок 2.

Здесь, в синих кружках, показаны вставки в троичную систему счисления.

Получилось! Это то, что нам надо. Теперь на координатные точки (2.4), как на скелет, можно натягивать натуральные, целые и даже рациональные числа.

Прежде всего, введем новые обозначения.

Заменим hq на L и дадим ему термин символьный логарифм.

Заменим Nq на E и дадим ему термин символьная экспонента.

Прямое отображение (2.3) обозначим функцией

E = e( L ) , (2.5)

а обратное

L = l( E ) . (2.6)

С помощью таблицы 1 сформулируем правила вычисления этих функций.

Для функции e( ) правило - остаток от деления L на 3 дает 2·a, а целое есть 3·b, тогда E = 2a · 3b.

Для функции l( ) правило - делим E нацело b раз, остальное будет 2a, тогда L = 2·a + 3·b.

В конечном итоге, доопределим эти функции в начале числовой оси, и оформим таблицу, расширив диапазон на область целых чисел – рисунок 3.

Рисунок 3.

Справа, на графике, показаны значения функции E = e(L).

Довольно долго не попадалось мне на глаза что-либо похожее, ни в Интернете, ни в научной литературе, но потом нашел. Оказывается, данная тема интересует структурных лингвистов. В статье [9] приводится строгое доказательство оптимальности данной функции для эффективного разбиения множества объектов любой природы по именным признакам. Нам будет достаточно утверждения того, что e( ) является не только оптимальной, но и единственной из всех возможных функциональных отображений вида (2.3), и определенной на всем множестве целых чисел.