z'=z+x

@triadec_96 · Регистрация: 27.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Задание:решите ДУ y''=y'+x
Я сделал замену:y''=z';y'=z
То есть надо решить ДУ:z'=z+x
Блин,вроди-бы очень простое,но решите не могу.
Я и диференцировал ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{dz}=z+x$ )
И замену делал (z=tx;z'=t'x+t).
Никак решить не могу.Помогите пожалуйста.

@Ellipsoid · 27.12.2013, 18:06

Уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'-z=x$ является уравнением Бернулли. Кроме того, замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t(x)=z+x$ cводит его к уравнению с разделяющимися переменными.

@S_el · 27.12.2013, 18:47

Или разбить как y= u+v.Тогда без замены можно решить

@triadec_96 · 27.12.2013, 22:05 **[ТС]**

Сообщение от S_el

Или разбить как y= u+v.Тогда без замены можно решить

Получилось ln|V|+C=x+C
Тогда будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V={e}^{x+c}$ ?
Или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\frac{{e}^{x}}{C}$ ?
Ато дальше U'V'=x.А какие варианты V я бы не подбирал-всё-равно тяжело будет интегрировать.

Байт · 27.12.2013, 22:51

z = uv, (метод Бернулли) z' = u'v + uv' (все штрихи по x)
u'v + uv' - uv = x
Подбираем v так, чтоб uv' - uv = 0
dv/v = 1
ln v= x (тут C не нужно! Мы просто подбираем какую-нибудь функцию v, которая нам поможет упростить уравнение. Общее решение нам не нужно!) v = e^x Вставляет в исходное
u' e^x = x
u' = xe^-x Интегрируем по-частям. Вот тут С уже необходим!

@S_el · 28.12.2013, 00:01

Сообщение от triadec_96

А какие варианты V я бы не подбирал-всё-равно тяжело будет интегрировать.

Зачем интегрировать?

Характеристическое уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}-k=0$
отсюда имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}_{1}=0 \\{k}_{2}=1 \\<br /> <br /> u={C}_{1}+{C}_{2}*e^{x} \\<br /> <br /> v={A*x}^{2}+B*x+C \\\dot{v}=2*A*x+B \\\ddot{v}=2*A \\$

После подстановки получим A=-0.5,B=C=0
y=u+v и уравнение решено.

@triadec_96 · 30.12.2013, 02:23 **[ТС]**

Сообщение от S_el

После подстановки получим A=-0.5,B=C=0
y=u+v и уравнение решено.

Спасибо)
Я так понимаю u-это общее однородное решение,а v-частичное неоднородное.

Добавлено через 6 минут

Сообщение от S_el

После подстановки получим A=-0.5,B=C=0
y=u+v и уравнение решено.

А какую именно подстановку надо делать?
Такую:
{2Ax=x
{2Ax+b=x
{A{x}^{2}+Bx+C=x

@S_el · 30.12.2013, 14:22

Сообщение от triadec_96

А какую именно подстановку надо делать?

В исходное уравнение подставляете v и её производные вместо y и её производных.

@triadec_96 · 30.12.2013, 19:18 **[ТС]**

Сообщение от S_el

В исходное уравнение подставляете v и её производные вместо y и её производных.

Так получается 2A=2Ax+B+x.а нужна система уравнений.

@S_el · 30.12.2013, 19:40

Зачем вам система уравнений?
Решаете методом неопределенных коэффициентов:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{1}: \ -2*A=1 =>A=-\frac{1}{2} \\ {x}^{0}: \ 2*A-B=0 =>B=2*A =>B=-1$

В сообщении 6,я ошибся при подстановке.
C поглощается константой C1 из u

@triadec_96 · 31.12.2013, 03:21 **[ТС]**

Сообщение от S_el

В сообщении 6,я ошибся при подстановке.
C поглощается константой C1 из u

Результат должен быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-\frac{{x}^{2}}{2}-x-C1{e}^{x}+C2$

@S_el · 31.12.2013, 11:17

Ну,если хотите можете поставить минус перед С1,все равно она определяется из начальных условий.

iifat · 01.01.2014, 11:54

Сообщение от S_el

Характеристическое уравнение:

Ересь глаголеши. Характеристическое уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k-1=0$ , решение однородного $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=Ce^x$ , частное неоднородного $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=Ax+B$ . Конкретно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-x-1+Ce^x$

@S_el · 01.01.2014, 15:53

Сообщение от iifat

Ересь глаголеши. Характеристическое уравнение , решение однородного , частное неоднородного . Конкретно,

Все правильно,если решать z'=z+x.
А я решал исходное

iifat · 01.01.2014, 17:19

Виноват. На тему засмотрелся, и не заметил ещё одной производной.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Компиляция C++ с Clang API NullReferenced 24.03.2025 Компиляторы обычно воспринимаются как черные ящики, которые превращают исходный код в исполняемые файлы. Мы запускаем компилятор командой в терминале, и вуаля — получаем бинарник. Но что если нужно. . .	Многопоточное программирование в C#: Класс Thread UnmanagedCoder 24.03.2025 Когда запускается приложение на компьютере, операционная система создаёт для него процесс - виртуальное адресное пространство. В C# этот процесс изначально получает один поток выполнения — главный. . .	SwiftUI Data Flow: Передача данных между представлениями mobDevWorks 23.03.2025 При первом знакомстве со SwiftUI кажется, что фреймворк предлагает избыточное количество механизмов для передачи данных: @State, @Binding, @StateObject, @ObservedObject, @EnvironmentObject и другие. . . .	Моки в Java: Сравниваем Mockito, EasyMock, JMockit Javaican 23.03.2025 Как протестировать класс, который зависит от других сложных компонентов, таких как базы данных, веб-сервисы или другие классы, с которыми и так непросто работать в тестовом окружении? Для этого и. . .	Архитектурные паттерны микросервисов: ТОП-10 шаблонов ArchitectMsa 22.03.2025 Популярность микросервисной архитектуры объясняется множеством важных преимуществ. К примеру, она позволяет командам разработчиков работать независимо друг от друга, используя различные технологии и. . .
Оптимизация рендеринга в Unity: Сортировка миллиона спрайтов GameUnited 22.03.2025 Помните, когда наличие сотни спрайтов в игре приводило к существенному падению производительности? Время таких ограничений уходит в прошлое. Сегодня геймдев сталкивается с задачами совершенно иного. . .	Образование и практика Igor3D 21.03.2025 Добрый день А вот каково качество/ эффективность ВУЗовского образования? Аналитическая геометрия изучается в первом семестре и считается довольно легким курсом, что вполне справедливо. Ну хорошо,. . .	Lazarus. Таблица с объединением ячеек. Massaraksh7 21.03.2025 Понадобилась представление на экране таблицы с объединёнными ячейками. И не одной, а штук триста, и все разные. На Delphi я использовал для этих целей TStringGrid, и то, кривовато получалось. А в. . .	Async/await в Swift: Асинхронное программирование в iOS mobDevWorks 20.03.2025 Асинхронное программирование долго было одной из самых сложных задач для разработчиков iOS. В течение многих лет мы сражались с замыканиями, диспетчеризацией очередей и обратными вызовами, чтобы. . .	Колмогоровская сложность: Приёмы упрощения кода ArchitectMsa 20.03.2025 Наверное, каждый программист хотя бы раз сталкивался с кодом, который напоминает запутанный лабиринт — чем дальше в него погружаешься, тем сложнее найти выход. И когда мы говорим о сложности кода, мы. . .

@triadec_96 12 / 12 / 8 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 448

	z'=z+x 27.12.2013, 17:50. Показов 767. Ответов 14 Метки нет (Все метки) Задание:решите ДУ y''=y'+x Я сделал замену:y''=z';y'=z То есть надо решить ДУ:z'=z+x Блин,вроди-бы очень простое,но решите не могу. Я и диференцировал ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dz}{dz}=z+x$ ) И замену делал (z=tx;z'=t'x+t). Никак решить не могу.Помогите пожалуйста. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	27.12.2013, 18:06
	Уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'-z=x$ является уравнением Бернулли. Кроме того, замена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t(x)=z+x$ cводит его к уравнению с разделяющимися переменными. 2

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	27.12.2013, 18:47
	Или разбить как y= u+v.Тогда без замены можно решить 0

@triadec_96 12 / 12 / 8 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 448
	27.12.2013, 22:05 [ТС]
	Сообщение от S_el Или разбить как y= u+v.Тогда без замены можно решить Получилось ln\|V\|+C=x+C Тогда будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V={e}^{x+c}$ ? Или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V=\frac{{e}^{x}}{C}$ ? Ато дальше U'V'=x.А какие варианты V я бы не подбирал-всё-равно тяжело будет интегрировать. 0

Байт Диссидент 27710 / 17328 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	27.12.2013, 22:51
	z = uv, (метод Бернулли) z' = u'v + uv' (все штрихи по x) u'v + uv' - uv = x Подбираем v так, чтоб uv' - uv = 0 dv/v = 1 ln v= x (тут C не нужно! Мы просто подбираем какую-нибудь функцию v, которая нам поможет упростить уравнение. Общее решение нам не нужно!) v = e^x Вставляет в исходное u' e^x = x u' = xe^-x Интегрируем по-частям. Вот тут С уже необходим! 1

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	28.12.2013, 00:01
	Сообщение от triadec_96 А какие варианты V я бы не подбирал-всё-равно тяжело будет интегрировать. Зачем интегрировать? Характеристическое уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}-k=0$ отсюда имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}_{1}=0 \\{k}_{2}=1 \\<br /> <br /> u={C}_{1}+{C}_{2}e^{x} \\<br /> <br /> v={Ax}^{2}+Bx+C \\\dot{v}=2Ax+B \\\ddot{v}=2A \\$ После подстановки получим A=-0.5,B=C=0 y=u+v и уравнение решено. 2

@triadec_96 12 / 12 / 8 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 448
	30.12.2013, 02:23 [ТС]
	Сообщение от S_el После подстановки получим A=-0.5,B=C=0 y=u+v и уравнение решено. Спасибо) Я так понимаю u-это общее однородное решение,а v-частичное неоднородное. Добавлено через 6 минут Сообщение от S_el После подстановки получим A=-0.5,B=C=0 y=u+v и уравнение решено. А какую именно подстановку надо делать? Такую: {2Ax=x {2Ax+b=x {A{x}^{2}+Bx+C=x 0

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	30.12.2013, 14:22
	Сообщение от triadec_96 А какую именно подстановку надо делать? В исходное уравнение подставляете v и её производные вместо y и её производных. 1

@triadec_96 12 / 12 / 8 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 448
	30.12.2013, 19:18 [ТС]
	Сообщение от S_el В исходное уравнение подставляете v и её производные вместо y и её производных. Так получается 2A=2Ax+B+x.а нужна система уравнений. 0

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	30.12.2013, 19:40
	Зачем вам система уравнений? Решаете методом неопределенных коэффициентов: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{1}: \ -2A=1 =>A=-\frac{1}{2} \\ {x}^{0}: \ 2A-B=0 =>B=2*A =>B=-1$ В сообщении 6,я ошибся при подстановке. C поглощается константой C1 из u 1

Опции темы

@triadec_96 12 / 12 / 8 Регистрация: 27.12.2012 Сообщений: 448
	31.12.2013, 03:21 [ТС]
	Сообщение от S_el В сообщении 6,я ошибся при подстановке. C поглощается константой C1 из u Результат должен быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=-\frac{{x}^{2}}{2}-x-C1{e}^{x}+C2$ 0

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	31.12.2013, 11:17
	Ну,если хотите можете поставить минус перед С1,все равно она определяется из начальных условий. 0

iifat 2793 / 1839 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,345
	01.01.2014, 11:54
	Сообщение от S_el Характеристическое уравнение: Ересь глаголеши. Характеристическое уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k-1=0$ , решение однородного $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=Ce^x$ , частное неоднородного $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=Ax+B$ . Конкретно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-x-1+Ce^x$ 0

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	01.01.2014, 15:53
	Сообщение от iifat Ересь глаголеши. Характеристическое уравнение , решение однородного , частное неоднородного . Конкретно, Все правильно,если решать z'=z+x. А я решал исходное 0

iifat 2793 / 1839 / 202 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,345
	01.01.2014, 17:19
	Виноват. На тему засмотрелся, и не заметил ещё одной производной. 0