Найти общее решение дифференциального уравнения

@Elena_1795 · Регистрация: 30.05.2013

Найти общее решение дифференциального уравнения
а) y'-4x y=-5x^3 y(0)=-(1/2)
в) зy'=y^2/x^2+8(y/x)+4

@tarasso · 10.03.2014, 17:12

Попробуйте решить методом подстановки Бернулли.

@Elena_1795 · 10.03.2014, 17:19 **[ТС]**

а) - я уже решила методом Коши. А вот "в)" решить не могу.

@tarasso · 10.03.2014, 17:54

y=uv
y'=u'v+uv'
u'v+uv'-4xuv=-5x^3 (1)
u(v'-4xv)=0 (2)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dv}{dx}-4xv=0\\\frac{dv}{v}=4xdx\\\ln v=2{x}^{2}+\ln {C}_{1}\\{C}_{1}=1\\v={e}^{2{x}^{2}}\: \left(3 \right)$
Подставим (3) в (1) с учетом условия (2), получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'\cdot {e}^{2{x}^{2}}=-5{x}^{3}\\\frac{du}{dx}\cdot {e}^{2{x}^{2}}=-5{x}^{3}\\du=-5{x}^{3}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}dx\\u=\int -5{x}^{3}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}dx\\u=-\frac{5}{4}\int 2{x}^{2}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}d\left(2{x}^{2} \right)\: \left(4 \right)$
Применяя для интеграла (4) метод интегрирования по частям окончательно для u получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{5}{4}\cdot \left(2{x}^{2}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}+{e}^{-2{x}^{2}}+C \right)\\y=uv=\frac{5}{4}\cdot \left(2{x}^{2}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}+{e}^{-2{x}^{2}}+C \right)\cdot {e}^{2{x}^{2}}\: (5)$
Имея начальные условия, несложно уже найти константу С из выражения (5).

Добавлено через 7 минут
в) можно попробовать сделать подстановку
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y}{x}=z\\y=zx\\y'=z+xz'$

@Elena_1795 0 / 0 / 0 Регистрация: 30.05.2013 Сообщений: 40
		1
	Найти общее решение дифференциального уравнения 10.03.2014, 16:13. Показов 607. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Найти общее решение дифференциального уравнения а) y'-4x y=-5x^3 y(0)=-(1/2) в) зy'=y^2/x^2+8(y/x)+4 0

@tarasso 751 / 456 / 49 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 937
	10.03.2014, 17:12	2
	Попробуйте решить методом подстановки Бернулли. 1

@Elena_1795 0 / 0 / 0 Регистрация: 30.05.2013 Сообщений: 40
	10.03.2014, 17:19 [ТС]	3
	а) - я уже решила методом Коши. А вот "в)" решить не могу. 0

@tarasso 751 / 456 / 49 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 937
	10.03.2014, 17:54	4
	y=uv y'=u'v+uv' u'v+uv'-4xuv=-5x^3 (1) u(v'-4xv)=0 (2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dv}{dx}-4xv=0\\\frac{dv}{v}=4xdx\\\ln v=2{x}^{2}+\ln {C}_{1}\\{C}_{1}=1\\v={e}^{2{x}^{2}}\: \left(3 \right)$ Подставим (3) в (1) с учетом условия (2), получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'\cdot {e}^{2{x}^{2}}=-5{x}^{3}\\\frac{du}{dx}\cdot {e}^{2{x}^{2}}=-5{x}^{3}\\du=-5{x}^{3}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}dx\\u=\int -5{x}^{3}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}dx\\u=-\frac{5}{4}\int 2{x}^{2}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}d\left(2{x}^{2} \right)\: \left(4 \right)$ Применяя для интеграла (4) метод интегрирования по частям окончательно для u получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{5}{4}\cdot \left(2{x}^{2}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}+{e}^{-2{x}^{2}}+C \right)\\y=uv=\frac{5}{4}\cdot \left(2{x}^{2}\cdot {e}^{-2{x}^{2}}+{e}^{-2{x}^{2}}+C \right)\cdot {e}^{2{x}^{2}}\: (5)$ Имея начальные условия, несложно уже найти константу С из выражения (5). Добавлено через 7 минут в) можно попробовать сделать подстановку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y}{x}=z\\y=zx\\y'=z+xz'$ 1

Опции темы