Применение дифференциальных уравнений

@lilyason · Регистрация: 12.01.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиусом 0 1 м, вырезанное на дне чаши

@cmath · 24.05.2014, 07:56

Юзаем формулу Торричелли:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=\sqrt{2gh}$
А также формулу потока через площадку, площадь которой равна площади отверстия: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> q=vS=0.01\pi v$
Ну и конечно же уравнение баланса жидкости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \frac{dV}{dt}=q$
V - объем воды в чаше (можно посчитать через объем шарового слоя). На выходите получите уравнение относительно h(t) (с разделяющимися переменными). Решите его, учитывая что h(0)=1м, затем решите относительно t уравнение h(t)=0. Получите ответ. Удачи.

240Volt · 24.05.2014, 23:38

Не нравится мне эта задача.
Можно, конечно, взять уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho gh + \frac{{\rho v_0^2}}{2} + {P_{atm}} = \frac{{\rho {v^2}}}{2} + {P_{atm}}$
Из него найдем связь между скоростью истечения жидкости и скоростью перемещения свободной поверхности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v^2} = v_0^2 + 2gh$
Еще уравнение непрерывности дает
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?vS = {v_0}{S_0}$
Из этих двух уравнений получим обобщенную формулу Торричелли,
которая учитывает изменение скорости за счет изменения площади свободной поверхности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v_0} = \sqrt {\frac{{2gh}}{{\frac{{S_0^2}}{{{S^2}}} - 1}}}$
Это дает дифференциальное уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dh}}{{dt}} = \sqrt {\frac{{2gh}}{{\frac{{S_0^2}}{{{S^2}}} - 1}}}$
из которого можно найти время истечения воды
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t = \int\limits_{{h_0}}^R {\sqrt {\frac{{\frac{{S_0^2}}{{{S^2}}} - 1}}{{2gh}}} dh}$
Площадь свободной поверхности выразим через толщину слоя воды по теореме Пифагора
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S_0} = \pi {r^2} = \pi h(2R - h)$
Наименьшее значение h (h₀ в нижнем пределе) получим, приравнивая S₀ и S.
Ну, и дальше останется только посчитать интеграл.
Такие дела

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@lilyason 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.01.2014 Сообщений: 5

	Применение дифференциальных уравнений 19.05.2014, 19:52. Показов 4351. Ответов 2 Метки нет (Все метки) За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиусом 0 1 м, вырезанное на дне чаши 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	24.05.2014, 07:56
	Юзаем формулу Торричелли: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=\sqrt{2gh}$ А также формулу потока через площадку, площадь которой равна площади отверстия: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> q=vS=0.01\pi v$ Ну и конечно же уравнение баланса жидкости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \frac{dV}{dt}=q$ V - объем воды в чаше (можно посчитать через объем шарового слоя). На выходите получите уравнение относительно h(t) (с разделяющимися переменными). Решите его, учитывая что h(0)=1м, затем решите относительно t уравнение h(t)=0. Получите ответ. Удачи. 1

240Volt 4445 / 2449 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108
	24.05.2014, 23:38
	Не нравится мне эта задача. Можно, конечно, взять уравнение Бернулли $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho gh + \frac{{\rho v_0^2}}{2} + {P_{atm}} = \frac{{\rho {v^2}}}{2} + {P_{atm}}$ Из него найдем связь между скоростью истечения жидкости и скоростью перемещения свободной поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v^2} = v_0^2 + 2gh$ Еще уравнение непрерывности дает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?vS = {v_0}{S_0}$ Из этих двух уравнений получим обобщенную формулу Торричелли, которая учитывает изменение скорости за счет изменения площади свободной поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{v_0} = \sqrt {\frac{{2gh}}{{\frac{{S_0^2}}{{{S^2}}} - 1}}}$ Это дает дифференциальное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{dh}}{{dt}} = \sqrt {\frac{{2gh}}{{\frac{{S_0^2}}{{{S^2}}} - 1}}}$ из которого можно найти время истечения воды $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t = \int\limits_{{h_0}}^R {\sqrt {\frac{{\frac{{S_0^2}}{{{S^2}}} - 1}}{{2gh}}} dh}$ Площадь свободной поверхности выразим через толщину слоя воды по теореме Пифагора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S_0} = \pi {r^2} = \pi h(2R - h)$ Наименьшее значение h (h₀ в нижнем пределе) получим, приравнивая S₀ и S. Ну, и дальше останется только посчитать интеграл. Такие дела 3