Аналитическое решение решение краевой задачи для ОДУ второго порядка

@Volmaxv · Регистрация: 14.01.2015

Здравствуйте!
Задача: Аналитически найти частное решение ОДУ. Изначально в частных производных, но это оду(если я неправ поправьте!)
Название: Снимок.JPG
Просмотров: 56

Размер: 13.3 Кб

Название: Снимок.JPG
Просмотров: 56

Размер: 13.3 Кб

Bi, T0, T1, T2, D - константы.

Было найдено решение с помощью Matlab в символьном виде.

Кликните здесь для просмотра всего текста

Matlab M

syms Q(X) Bi D T1 T2 T0
% T0 = 250;
% T1 = 400;
% T2 = 300;
% D=0.1;
% Bi=1000;
Q(X) = dsolve(diff(Q,2)-Bi*Q/(1-D) == 0, Q(0) == 1, Q(1) == (T2-T0)/(T1-T0))
simplify(Q);
 
 
Решение:
Q(X) =
 (exp((X*(-Bi*(D - 1))^(1/2))/(D - 1))*(T0 - T2 - T0*exp(-(-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1)) + T1*exp(-(-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1))))/((T0 - T1)*(exp((-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1)) - exp(-(-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1)))) - (exp(-(X*(-Bi*(D - 1))^(1/2))/(D - 1))*(T0 - T2 - T0*exp((-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1)) + T1*exp((-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1))))/((T0 - T1)*(exp((-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1)) - exp(-(-Bi*(D - 1))^(1/2)/(D - 1))))

Довольно громоздкое и возникли подозрения что если решить ручками, то будет по другому.

Общее решение я нашел http://eqworld.ipmnet.ru/en/so... de0203.pdf
Подскажите как решить краевую задачу. Очень похожа задача Штурма-Лиувилля, но краевые условия не те.

Заранее благодарю!

@SuurKissat · 15.01.2015, 02:30

Гм. Немного осложняет дело, что неизвестен заранее знак $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}$
1. Если он положительный, то обозначаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}={a}^{2}$ тогда общее решение уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta ={C}_{1}exp(aX)+{C}_{1}exp(-aX)$
Обозначим для компактности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{T}_{2}-{T}_{0}}{{T}_{1}-{T}_{0}}=p$
Тогда из граничных условий для констант в общем решении получим систему
С1+С2=1
С1exp(a)+C2exp(-a)=p
Ее решения ищем тривиально и с ними пишем решение. Мне сейчас лень до конца расписывать) Если не справишься сам - то таки напишу, но позже.
2. По аналогии если знак $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}$ отрицательный, то запишем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}=-{a}^{2}$
общее решение уравнения не в виде эуспонент, а
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta ={C}_{1}cos(aX)+{C}_{1}sin(aX)$ И для него искать.

P.S. НАдеюсь этих подсказок хватит, но если нет - отпишись и позже еще распишу.

@SuurKissat 34 / 34 / 16 Регистрация: 11.01.2015 Сообщений: 130
	15.01.2015, 02:30	2
	Гм. Немного осложняет дело, что неизвестен заранее знак $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}$ 1. Если он положительный, то обозначаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}={a}^{2}$ тогда общее решение уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta ={C}_{1}exp(aX)+{C}_{1}exp(-aX)$ Обозначим для компактности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{T}_{2}-{T}_{0}}{{T}_{1}-{T}_{0}}=p$ Тогда из граничных условий для констант в общем решении получим систему С1+С2=1 С1exp(a)+C2exp(-a)=p Ее решения ищем тривиально и с ними пишем решение. Мне сейчас лень до конца расписывать) Если не справишься сам - то таки напишу, но позже. 2. По аналогии если знак $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}$ отрицательный, то запишем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{Bi}{1-D}=-{a}^{2}$ общее решение уравнения не в виде эуспонент, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta ={C}_{1}cos(aX)+{C}_{1}sin(aX)$ И для него искать. P.S. НАдеюсь этих подсказок хватит, но если нет - отпишись и позже еще распишу. 0

Опции темы