Метод конечных разностей для решения ДУЧП

Зосима · Регистрация: 02.04.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Ребятки, здравствуйте!
Всех с наступающим!

Несколько времени тому назад мне под руку попалось одно хитрое уравнение, которое не дает мне покоя:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial V}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{1}{sin(t)} \frac{\partial}{\partial t} \left( sin(t) \frac{\partial V}{\partial t} \right) = 0;$

где r є [0.01, 0.04], t є [pi/6, 5*pi/6];
Граничные условия: V(0.01,t) = 150, V(0.04,t) = 0;
Начальные условия - произвольные (я брал V(r, pi/6) = 150-150*(r-0.01)/0.03 ).

Далее я убрал множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{r^2}$ (т.к. r не равно нулю) и раскрыл скобки:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2r \frac{\partial V}{\partial r} + r^2 \frac{\partial^2 V}{\partial r^2} + \frac{cos(t)}{sin(t)} \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = 0;$

Затем перешел к дискретным величинам:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dr = \frac{r_{max}-r_{min}}{N}; \; \; \; dt = \frac{t_{max}-t_{min}}{M}; \\i = 0..N; \; \; \; k = 0..M; \\r_i = r_{min} + dr\cdot i; \\t_k = t_{min} + dt\cdot k; \\V_{(k,i)} = V(t_k,r_i);$

И перешел к разностной схеме (для (i,k)-го элемента):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{r_i}{dr}\left( V_{(k,i+1)}-V_{(k,i-1)} \right) + \frac{r_i^2}{dr^2}\left( V_{(k,i+1)}-2V_{(k,i)} + V_{(k,i-1)} \right) + \frac{\cot(t_k)}{2dt}\left( V_{(k+1,i)}-V_{(k-1,i)} \right) + \frac{1}{dt^2}\left( V_{(k+1,i)}-2V_{(k,i)}+V_{(k-1,i)} \right) =0;$

Собрал множители при элементах и переобозвал их:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_d V_{(k,i-1)} + A_m V_{(k,i)} + A_u V_{(k,i+1)} + B V_{(k+1,i)} + C V_{(k-1,i)} = 0;$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_d = \frac{r_i^2 - 2r_i dr}{dr^2}; \\A_m = -2 \left( \frac{r_i^2}{dr^2} + \frac{1}{dt^2} \right) ;\\A_u = \frac{r_i^2 + 2 r_i dr}{dr^2};\\B = \frac{2+dt \cot(t_k)}{2dt^2};\\C = \frac{2-dt \cot(t_k)}{2dt^2};$

Откуда вытекает аккуратная схема:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(k+1,i)} = -\frac{1}{B} \left( \left[ A_d V_{(k,i-1)} + A_m V_{(k,i)} + A_u V_{(k,i+1)} \right] + C V_{(k-1,i)} \right) ; \\i = 1..N-1; \;\;\; k = 1..M-1$

( ясное дело, что множитель -1/B можно сразу домножить на А...C и переобозвать, но пока оставлю )

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(0,i)}$ равно начальным условиям, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(1,i)}$ можно найти из начальных условий первой производной:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(1,i)} \approx V_{(0,i)} + dt \cdot \frac{\partial V}{\partial t} \left( 0, r_i \right);$

Также я пробовал такой способ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(1,i)} = -\frac{1}{B} \left( A_d V_{(k,i-1)} + A_m V_{(k,i)} + A_u V_{(k,i+1)} \right) ;$

НО при любом раскладе решение "улетает" в бесконечность!

причем чем меньше шаг, тем быстрее.
Интуитивно понимаю, что чем меньше шаг, тем численное решение должно быть ближе к точному, но на деле выходит совсем наоборот.
Это я где-то ошибся или этот метод тут не уместен? или может уравнение само виновато?

Не по теме:

PS: прошу сильно книжками не пинать, я плохо разбираюсь в ДУЧП :-[

Добавлено через 6 часов 12 минут

Не по теме:

Как мужчина в полном расцвете сил может равнодушно созерцать мягкие изгибы символа частной производной?
Диффуры они как девушки: одни просто миленькие, но попадется одна - сведет с ума, лишит сна и аппетита! Все время думаешь о ней, взвешиваешь разные способы решения, хоть оно тебе вообще не нужно. А результат не сходится! Пытаешься отвлечься, порешать те, что по проще... не помогает! Решаешь простые, но думаешь о той единственной, которая запала в сердце.
И если исписаны ручкой несколько листов А4 с выводом разностной схемы - это уже нечто большее, чем просто ДЗ.

@splen · 01.01.2017, 20:12

Это задача для уравнения Лапласа в сферических координатах
для функции, не зависящей от полярного угла. Её решение
можно искать методом разделения переменных, но без ссылок
на учебник это объяснить трудно.

@Zigfrid · 03.01.2017, 23:56

Зосима, подождите, у вас стоит тривиальное уравнение: лапласиан * V = 0, так?
А какой вид имеет функция V и почему вы решаете его конечно-разностным методом?

@Том Ардер · 04.01.2017, 00:30

Сообщение от Зосима

Это я где-то ошибся или этот метод тут не уместен? или может уравнение само виновато?

Сама постановка задачи:
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t$ - это не время, а полярный угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ , поскольку здесь уравнение с лапласианом
в сферических координатах.

2)

Сообщение от Зосима

Начальные условия - произвольные

Нет никаких начальных условий, а нужны граничные, и отсутствует условие на одной из границ, а именно для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta =5\pi /6$

Конечно-разностная схема приводит к блочной трехдиагональной матрице системы.
Подробности - в Дж.Ортега, У.Пул Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, гл.8.
(без книг никак не обойтись)

@splen · 04.01.2017, 00:38

Сообщение от Том Ардер

полярный угол https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta

"...азимутальный...". Полярного угла ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ ) здесь нет.

@Том Ардер · 04.01.2017, 00:58

splen, вопрос терминологии. На плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ - полярный. На сфере $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ - азимутальный (мне привычнее астрономическое толкование). Сферическая система координат (извините за ссылку, только для уточнения терминов)

@splen · 04.01.2017, 01:12

Том Ардер, Вы правы, Ваша формулировка точнее.

Зосима · 04.01.2017, 09:07 **[ТС]**

Ребятки, спасибо!

На счет полярных координат я еще кое-как догадался, но насчет лапласиана - не знал, уравнение дано в том виде, как я написал вначале.
А конечно-разностный метод я выбрал как наименее непонятный для меня

Я где-то видел, что получается система, но как видно из первого сообщения, у меня она не получилась - новые значения высчитываются напрямую из известных предыдущих.

* условие на границе V(r,5*pi/6) можно взять произвольное.

** книжку нашел, буду изучать на досуге.

Зосима 5242 / 3570 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,473 Записей в блоге: 17
		1
	Метод конечных разностей для решения ДУЧП 31.12.2016, 17:45. Показов 2216. Ответов 7 Метки pde, дучп, метод конечных разностей, мкр (Все метки) Ребятки, здравствуйте! Всех с наступающим! Несколько времени тому назад мне под руку попалось одно хитрое уравнение, которое не дает мне покоя: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial V}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2}\frac{1}{sin(t)} \frac{\partial}{\partial t} \left( sin(t) \frac{\partial V}{\partial t} \right) = 0;$ где *r є [0.01, 0.04], t є [pi/6, 5pi/6]; Граничные условия: V(0.01,t) = 150, V(0.04,t) = 0; Начальные условия - произвольные (я брал V(r, pi/6) = 150-150(r-0.01)/0.03* ). Далее я убрал множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{r^2}$ (т.к. r не равно нулю) и раскрыл скобки: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2r \frac{\partial V}{\partial r} + r^2 \frac{\partial^2 V}{\partial r^2} + \frac{cos(t)}{sin(t)} \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = 0;$ Затем перешел к дискретным величинам: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dr = \frac{r_{max}-r_{min}}{N}; \; \; \; dt = \frac{t_{max}-t_{min}}{M}; \\i = 0..N; \; \; \; k = 0..M; \\r_i = r_{min} + dr\cdot i; \\t_k = t_{min} + dt\cdot k; \\V_{(k,i)} = V(t_k,r_i);$ И перешел к разностной схеме (для (i,k)-го элемента): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{r_i}{dr}\left( V_{(k,i+1)}-V_{(k,i-1)} \right) + \frac{r_i^2}{dr^2}\left( V_{(k,i+1)}-2V_{(k,i)} + V_{(k,i-1)} \right) + \frac{\cot(t_k)}{2dt}\left( V_{(k+1,i)}-V_{(k-1,i)} \right) + \frac{1}{dt^2}\left( V_{(k+1,i)}-2V_{(k,i)}+V_{(k-1,i)} \right) =0;$ Собрал множители при элементах и переобозвал их: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_d V_{(k,i-1)} + A_m V_{(k,i)} + A_u V_{(k,i+1)} + B V_{(k+1,i)} + C V_{(k-1,i)} = 0;$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_d = \frac{r_i^2 - 2r_i dr}{dr^2}; \\A_m = -2 \left( \frac{r_i^2}{dr^2} + \frac{1}{dt^2} \right) ;\\A_u = \frac{r_i^2 + 2 r_i dr}{dr^2};\\B = \frac{2+dt \cot(t_k)}{2dt^2};\\C = \frac{2-dt \cot(t_k)}{2dt^2};$ Откуда вытекает аккуратная схема: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(k+1,i)} = -\frac{1}{B} \left( \left[ A_d V_{(k,i-1)} + A_m V_{(k,i)} + A_u V_{(k,i+1)} \right] + C V_{(k-1,i)} \right) ; \\i = 1..N-1; \;\;\; k = 1..M-1$ ( ясное дело, что множитель -1/B можно сразу домножить на А...C и переобозвать, но пока оставлю ) где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(0,i)}$ равно начальным условиям, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(1,i)}$ можно найти из начальных условий первой производной: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(1,i)} \approx V_{(0,i)} + dt \cdot \frac{\partial V}{\partial t} \left( 0, r_i \right);$ Также я пробовал такой способ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V_{(1,i)} = -\frac{1}{B} \left( A_d V_{(k,i-1)} + A_m V_{(k,i)} + A_u V_{(k,i+1)} \right) ;$ НО при любом раскладе решение "улетает" в бесконечность! причем чем меньше шаг, тем быстрее. Интуитивно понимаю, что чем меньше шаг, тем численное решение должно быть ближе к точному, но на деле выходит совсем наоборот. Это я где-то ошибся или этот метод тут не уместен? или может уравнение само виновато? Не по теме: PS: прошу сильно книжками не пинать, я плохо разбираюсь в ДУЧП :-[ Добавлено через 6 часов 12 минут Не по теме: Как мужчина в полном расцвете сил может равнодушно созерцать мягкие изгибы символа частной производной? Диффуры они как девушки: одни просто миленькие, но попадется одна - сведет с ума, лишит сна и аппетита! Все время думаешь о ней, взвешиваешь разные способы решения, хоть оно тебе вообще не нужно. А результат не сходится! Пытаешься отвлечься, порешать те, что по проще... не помогает! Решаешь простые, но думаешь о той единственной, которая запала в сердце. И если исписаны ручкой несколько листов А4 с выводом разностной схемы - это уже нечто большее, чем просто ДЗ. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	01.01.2017, 20:12	2
	Это задача для уравнения Лапласа в сферических координатах для функции, не зависящей от полярного угла. Её решение можно искать методом разделения переменных, но без ссылок на учебник это объяснить трудно. 0

@Zigfrid 11 / 11 / 1 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 359
	03.01.2017, 23:56	3
	Зосима, подождите, у вас стоит тривиальное уравнение: лапласиан * V = 0, так? А какой вид имеет функция V и почему вы решаете его конечно-разностным методом? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.01.2017, 00:30	4
	Сообщение от Зосима Это я где-то ошибся или этот метод тут не уместен? или может уравнение само виновато? Сама постановка задачи: 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t$ - это не время, а полярный угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ , поскольку здесь уравнение с лапласианом в сферических координатах. 2) Сообщение от Зосима Начальные условия - произвольные Нет никаких начальных условий, а нужны *граничные, и отсутствует условие на одной из границ, а именно для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta =5\pi /6$ Конечно-разностная схема приводит к блочной трехдиагональной матрице системы. Подробности - в Дж.Ортега, У.Пул Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, гл.8.* (без книг никак не обойтись) 1

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	04.01.2017, 00:38	5
	Сообщение от Том Ардер полярный угол https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta "...азимутальный...". Полярного угла ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ ) здесь нет. 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.01.2017, 00:58	6
	splen, вопрос терминологии. На плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ - полярный. На сфере $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ - азимутальный (мне привычнее астрономическое толкование). Сферическая система координат (извините за ссылку, только для уточнения терминов) 1

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	04.01.2017, 01:12	7
	Том Ардер, Вы правы, Ваша формулировка точнее. 0

Зосима 5242 / 3570 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,473 Записей в блоге: 17
	04.01.2017, 09:07 [ТС]	8
	Ребятки, спасибо! На счет полярных координат я еще кое-как догадался, но насчет лапласиана - не знал, уравнение дано в том виде, как я написал вначале. А конечно-разностный метод я выбрал как наименее непонятный для меня Я где-то видел, что получается система, но как видно из первого сообщения, у меня она не получилась - новые значения высчитываются напрямую из известных предыдущих. * условие на границе *V(r,5pi/6) можно взять произвольное. книжку нашел, буду изучать на досуге. 0