Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову

@никмейн · Регистрация: 24.10.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста доказать по определению, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\dot{x}=ax+asiny & \\ \dot{y}=a{x}^{3}-{a}^{2}y & \end{matrix}\right.$

@TrushkovVV · 25.12.2017, 13:31

Это неверное утверждение.
Достаточно линеаризовать в окрестности нуля и найти корни характеристического уравнения -a и -a^2.

@никмейн · 25.12.2017, 23:36 **[ТС]**

Сообщение от TrushkovVV

найти корни характеристического уравнения -a и -a^2.

задача была у меня поставлено так: Выяснить, при каких значениях параметра a нулевое решение является
а) асимптотически устойчивым;
б) устойчивым, но не асимптотически;
в) неустойчивым.
я установил, что при:
1) a>0-неустойчиво;
2) a<0-асимптотически устойчиво;
3) a=0 - устойчиво, но не асимптотически устойчива, а доказать как? по определению?

@TrushkovVV · 26.12.2017, 00:12

по определению, да. при a=0 x(t) и y(t) - постоянные.

@никмейн · 26.12.2017, 13:17 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\dot{x} =0 & \\ \dot{y} =0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x(t)={C}_{1} & \\ y(t)={C}_{2}& \end{matrix}\right.$

Добавлено через 20 минут
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \varepsilon > 0 \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0 \forall x=x(t) \left \| x(t_{0}) -\varphi (t_{0})\right \|<\delta \Rightarrow \left \| x(t)-\varphi (t) \right \|<\varepsilon$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left \| \varphi (t)-0 \right \|=\sqrt{(C_{1}+C_{2})^{2}}=\left \| y_{0} \right \|<\varepsilon$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{t\rightarrow +\propto }\left \| \varphi (t)-0 \right \|=\lim_{t\rightarrow +\propto}\left \| y_{0} \right \|\neq 0$
из этого следует устойчивое нулевое решение, но не асимптотически устойчивость, так?

правильно?

@никмейн · 02.01.2018, 14:19 **[ТС]**

Ответьте пожалуйста

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@никмейн 65 / 46 / 20 Регистрация: 24.10.2016 Сообщений: 1,050

	Доказать, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову 23.12.2017, 23:41. Показов 1864. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста доказать по определению, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\dot{x}=ax+asiny & \\ \dot{y}=a{x}^{3}-{a}^{2}y & \end{matrix}\right.$ 0

@TrushkovVV 150 / 83 / 7 Регистрация: 24.08.2012 Сообщений: 273
	25.12.2017, 13:31
	Это неверное утверждение. Достаточно линеаризовать в окрестности нуля и найти корни характеристического уравнения -a и -a^2. 0

@TrushkovVV 150 / 83 / 7 Регистрация: 24.08.2012 Сообщений: 273
	26.12.2017, 00:12
	по определению, да. при a=0 x(t) и y(t) - постоянные. 0

@никмейн 65 / 46 / 20 Регистрация: 24.10.2016 Сообщений: 1,050
	26.12.2017, 13:17 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\dot{x} =0 & \\ \dot{y} =0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x(t)={C}_{1} & \\ y(t)={C}_{2}& \end{matrix}\right.$ Добавлено через 20 минут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \varepsilon > 0 \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0 \forall x=x(t) \left \\| x(t_{0}) -\varphi (t_{0})\right \\|<\delta \Rightarrow \left \\| x(t)-\varphi (t) \right \\|<\varepsilon$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left \\| \varphi (t)-0 \right \\|=\sqrt{(C_{1}+C_{2})^{2}}=\left \\| y_{0} \right \\|<\varepsilon$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{t\rightarrow +\propto }\left \\| \varphi (t)-0 \right \\|=\lim_{t\rightarrow +\propto}\left \\| y_{0} \right \\|\neq 0$ из этого следует устойчивое нулевое решение, но не асимптотически устойчивость, так? правильно? 0

@никмейн 65 / 46 / 20 Регистрация: 24.10.2016 Сообщений: 1,050
	02.01.2018, 14:19 [ТС]
	Ответьте пожалуйста 0